Całka jako suma wkładów (suma natężenie pola magnetycznego)

[patryk007]

Niech \(\displaystyle{ k= \frac{1}{4\pi \varepsilon _{0} }}\).
Natężenie pola elektrycznego od ładunku elektrycznego \(\displaystyle{ q}\) definiujemy jako: \(\displaystyle{ E=k \frac{q}{r^{2}}}\).
Gdzie \(\displaystyle{ r}\) definiujemy jako odległość ładunku od punktu w którym badamy natężenie pola magn.
___ ___ ___

Chcę policzyć wartość pola elektromagnetycznego od nieskończenie długiego pręta w punkcie P oddalonym od pręta o \(\displaystyle{ y}\).

Oznaczmy:
\(\displaystyle{ y}\) jako odległość pkt. P od pręta
\(\displaystyle{ x}\) odległość dowolnego punktu na pręcie od punktu przecięcia prostej prostopadłej do pręta przechodzącej przez P z prętem
\(\displaystyle{ r}\) odległość dowolnego punktu na pręcie od punktu P

tak więc: \(\displaystyle{ y^{2}+x^{2}=r^{2}}\)

Różniczkując wzór na \(\displaystyle{ E}\) mamy: \(\displaystyle{ dE=k \frac{dq}{r^{2}}}\).
Jeśli oznaczymy gęstość ładunku na długość jako \(\displaystyle{ \lambda= \frac{dq}{dx}}\), wyznaczymy \(\displaystyle{ dq}\) i podstawimy do równania wyżej to otrzymamy: \(\displaystyle{ dE=k \frac{\lambda dx}{r^{2}}=k \frac{\lambda dx}{x^{2}+y{2}}}\).

No i OK. Zamieniliśmy zmienną całkowania z \(\displaystyle{ q}\) na \(\displaystyle{ x}\), teraz wystarczy uwzględnić, że wektor \(\displaystyle{ dE}\) można rozłożyć na składowe \(\displaystyle{ dE_{x}}\) i \(\displaystyle{ dE_{y}}\), składowe poziome się neutralizują tak, że \(\displaystyle{ E_{x}=0}\), liczymy całkę z \(\displaystyle{ dE_{y}}\) i mamy.

Pytanie: jak to jest, że całka ze zróżczniczkowanego i przekształconego trochę (żeby dało się policzyć) równania na wartość natężenia pola magnetycznego to suma wszystkich wkładów natężeń?

Chodzi mi o sam problem: dlaczego całka to SUMA WKŁADÓW. Znam mniej-więcej (tzn. nie zupełnie uściśloną)

Kod: Zaznacz cały

http://www.math.us.edu.pl/~pgladki/faq/node77.html

(że całka to suma części pod wykresem, bla bla, która w granicy daje dokładne pole). Wiem też, że funkcja pierwotna to funkcja, którą po zróżniczkowaniu daje funkcję podcałkową. I tyle! Jak to jest, że w prawie każdym rozdziale podręcznika do fizyki, używa się jej do sumowaniu jakiś wkładów? Nie wiem za bardzo z czego to wynika.

Mam nadzieję, że ktoś załapie o co mi chodzi i pociągnie temat. Jak coś to dopytujcie.

[sers]

\(\displaystyle{ \sum_{}^{}}\) to sumowanie dla funkcji dyskretnych
\(\displaystyle{ \int_{}^{}}\) to jego odpowiednik dla funkcji ciągłych

W sumowaniu zwykym dodajesz do siebie skwantowane wartości, czyli np. określona część ładunku jest skupiona w danym punkcie, potem kolejna jest skupiona w punkcie 3cm dalej, a pomiedzy nimi tego ładunku nie ma. Dlatego możesz sobie wziąć i na palcach te "wkłady" dodać.
Natomiast gdy ładunek jest rozłożony w sposób ciągły, to nie możesz wziąć części ładunku danym punkcie i dodać kolejnej części ładunku w punkcie przesuniętym o kawałeczek dalej, bo nawet jeśli byłby to maleńki kawałeczek, to pomiędzy tymi punktami które uwzględniłeś nadal jest jakaś część ładunku. Dlatego stosuje się całkę, która załatwia takie sumowanie.

[patryk007]

Właśnie pytam o to dlaczego tak jest jak napisałeś sers. Może chodzi mi o odpowiednią definicję całkowania...

Może analogicznie spróbuje:
to tak jakby pytając o to jak policzyć pole pod wykresem odpowiedziałbyś, że całka jest do tego, bo to suma małych pól, która w granicy daje dokładne pole. Ja to wiem. W tym przypadku oczekiwałbym odpowiedzi takiej:
\(\displaystyle{ \int_{a}^{b}f(x) dx = \lim_{{n \rightarrow \infty}}^{} \sum_{{i=1}}^{n}$f (x_{i}^{*})\Delta x}\)
to dopiero wyjaśnia idee sumowania infinitezymalnie małych pól.
Nie jest do końca ścisła, bo dopiero ta jest ścisła: \(\displaystyle{ \forall_{{\epsilon > 0}}^{} \exists_{{N \in {\mathbb N}}}^{} \forall_{{n > N}}^{} \forall_{{x_i^* \in [x_{i-1}, x_i]}}^{} | \int_{a}^{b}$f (x)dx - \sum_{{i=1}}^{n} f (x_{i}^{*}) \Delta x| < \epsilon}\)
i pytając o to jak to jest, że całka służy do sumowania "małych pól pod wykresem" ta odpowiedź by zasługiwała na skrzynkę piwa. Jendak ja pytam o całkę jako właśnie sumę dla funkcji ciągłych.

Nie deprecjonując tego co napisałeś (odpowiedź sers'a usestymatyzowała mi co nie co w głowie) czekam na odp. która uderzy w sedno.

TIA