Obliczyć dwie granice

[Pit33r]

Witam wszystkich!
Byłbym wdzięczny za pomoc, gdyby ktoś rozwiązał poniższe granice.
Mam wątpliwości czy w a) skorzystać z liczby \(\displaystyle{ e}\). w b) wychodzi \(\displaystyle{ 1^{ \infty }}\) czyli symbol nieoznaczony. co dalej?

a) \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \left( \frac{5n^{2}-3}{5n^{2}-1} \right) ^{6n^{2}+5}}\)

b) \(\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow 0} (cosx)^\frac{1}{x}}\)

[czeslaw]

Zgadza się, trzeba sprowadzić do \(\displaystyle{ e}\). Zaczynasz od zapisania licznika jako \(\displaystyle{ 5n^2 - 1 -2}\), po czym rozbijasz na dwa ułamki i sprowadzasz do podstawowej granicy.

[rsasquatch]

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } (\frac{5n^2-3}{5n^2-1})^{6n^2+5}=\lim_{n \to \infty } (\frac{5n^2-1-2}{5n^2-1})^{6n^2+5}=\lim_{n \to \infty } (1+\frac{-2}{5n^2-1})^{6n^2+5}=\lim_{n \to \infty } (1+\frac{-2}{5n^2-1})^{(5n^2-1) \frac{6n^2+5}{5n^2-1}}=\\ =e^{ \lim_{n \to \infty } -2*\frac{6n^2+5}{5n^2-1}}=e^{ -2* \frac{6}{5} }= \frac{1}{e^ \frac{12}{5} }}\)

-- 5 lut 2010, o 12:17 --

b)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} (Cosx)^{ \frac{1}{x}}= \lim_{x \to \infty } (Cos( \frac{1}{x} ))^{x}=\lim_{x \to \infty }(1- \frac{1}{x^22!} +R_{n}(x,0))^x=1}\)

[Bieniol]

Ewentualnie w podpunkcie b) jak już się dojdzie do: \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \left(cos \frac{1}{x} \right)^x}\)

\(\displaystyle{ cos \frac{1}{x} = cos^2 \frac{1}{2x} - sin^2 \frac{1}{2x} = 2cos^2 \frac{1}{2x} -1 = 1-2sin^2 \frac{1}{2x}}\)

Więc:


\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \left(cos \frac{1}{x} \right)^x = \lim_{x \to \infty } \left( 1-2sin^2 \frac{1}{2x}\right)^x}\)

I dalej analogicznie jak w pierwszym. Powinno wyjść chyba \(\displaystyle{ = e^0 = 1}\)

[Pit33r]

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } (1+\frac{-2}{5n^2-1})^{6n^2+5}}\)
i właśnie tutaj się zastanawiałem się, czy aby na pewno nie ma haczyka bo uparcie liczyłem\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } (1-\frac{-2}{5n^2-1})^{6n^2+5}}\), lecz w takim wypadku wyrażenie jest nieprawdziwe.
Dziękuję bardzo za pomoc

PS. Mam jeszcze jedno pytanie. Wyrażenie \(\displaystyle{ 1^ \infty}\) zawsze będzie równe \(\displaystyle{ 1}\)?

[Bieniol]

\(\displaystyle{ 1^{ \infty}}\) jest symbolem nieoznaczonym.

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } (1+\frac{-2}{5n^2-1})^{6n^2+5}}\)
i właśnie tutaj się zastanawiałem się, czy aby na pewno nie ma haczyka bo uparcie liczyłem\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } (1-\frac{-2}{5n^2-1})^{6n^2+5}}\), lecz w takim wypadku wyrażenie jest nieprawdziwe.

Co masz na myśli mówiąc "nieprawdziwe"?

[rsasquatch]

Ogólnie jeżeli masz \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }(1+ \frac{1}{w(n)})^{r(n)}}\)
gdzie \(\displaystyle{ r(n)i w(n)}\) to wielomiany i ich stopnie są równe to możesz sprowadzać to do \(\displaystyle{ e}\)
Jeśli chodzi o ten symbol nie oznaczony \(\displaystyle{ 1^ \infty}\) to trzeba to rozumieć jako coś co dąży do jedynki i jest podnoszone do potęgi która dąży do nieskończoności

[Pit33r]

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } (1-\frac{-2}{5n^2-1})^{6n^2+5} \neq \lim_{x \to \infty } \left( \frac{5n^{2}-3}{5n^{2}-1} \right) ^{6n^{2}+5}}\)

to miałem na myśli mówiąc nieprawdziwe. Dziękuje Wam za pomoc, pozdrawiam!

PS. a czy w tej granicy nie powinien wyjść wynik \(\displaystyle{ e^-\frac{12}{5}}\)

[czeslaw]

No powinien wyjść taki wynik, przecież masz w tym poście na końcu \(\displaystyle{ \frac{1}{e^{\frac{12}{5}}} = e^{-\frac{12}{5}}}\)