zbadaj przebieg zmienności funkcji

[wentyl6210]

witam potrzebuje pomocy.


funkcja opisana wzorem Y=\(\displaystyle{ \frac{4-2x}{x+1}}\)

[Mapedd]

trzeba zacząć dziedziny, mamy tutaj ułamek a nie można dzielić przez zero, więc
\(\displaystyle{ x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1}\)

Teraz miejsca zerowe czyli licznik musi być równy zero
\(\displaystyle{ 4-2x=0 \Rightarrow 4=2x \Rightarrow x=2}\)

Teraz trzeba zbadać granice w końcach dziedziny czyi \(\displaystyle{ -\infty, -1^-, -1^+, \infty}\)

Potem pochodna , mamy tutaj dzielenie czyli będziemy korzystać ze wzoru na pochodną ilorazu a mianowicie

\(\displaystyle{ \left( \frac{u}{v} \right) ' = \frac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^2}}\)

Napisz co do tej pory rozumiesz i potrafisz zrobić...

[wentyl6210]

naeazie rozumiem wszystko i wiem jak robić dziękuję a co dalej ??

[Mapedd]

potem trzeba roziązać równanie \(\displaystyle{ f'(x)=0}\) i sprawdzić czy w miejscach zerowych pochodna zmienia znak, wpisz tu wszystko to zobaczy czy masz dobrze i CI pomogę

[wentyl6210]

oki ale to troche potrwa
bo za szybko te wszyskie znaki to mi nie wchodzą -- 4 lut 2010, o 20:09 --nie wiem jak to pisać nic mi nie wychodzi próbuje a tu jakies krzaczki mi sie pokazują

[Mapedd]

zeby wpisać np \(\displaystyle{ f=x^2+\frac{1}{x}}\) trzeba napisać dokładnie:

Kod: Zaznacz cały

[tex]f=x^2+frac{1}{x}[/tex]

dużo informacji znajdziesz tutaj https://matematyka.pl/latex.htm

[wentyl6210]

1. Wyznaczam dziedzinę funkcji.

\(\displaystyle{ x+1\neq0 \Rightarrow x\neq-1}\)
zatem
\(\displaystyle{ D=R\{-1}}\)
\(\displaystyle{ D=R\{-\infty,-1) \cup (-1,+\infty)}\)

2. Zachowanie funkcji na końcach określości
\(\displaystyle{ -\infty,-1) \cup (-1,+\infty)}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ \to-\infty }\frac{4-2x}{x+1}=}\)\(\displaystyle{ \lim_{ \to-\infty }\frac{x(\frac{4}{x}-{2}}{x(1+\frac{1}{x})}= -\infty}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ \to+\infty }\frac{4-2x}{x+1}=}\)\(\displaystyle{ \lim_{ \to+\infty }\frac{x(\frac{4}{x}-{2}}{x(1+\frac{1}{x})}= +\infty}\)

zatem wykres nie posiada asymptoty poziomej
cdn

-- 4 lut 2010, o 21:01 --

\(\displaystyle{ \lim_{ \to-\infty\ ^{+} }\frac{4-2x}{x+1}=\lim_{ \to-\infty\ ^{+} }\frac{4-2(-1)}{-1+1}= \left| \frac{6}{0}^+}\right|= \infty}\)

-- 4 lut 2010, o 21:03 --

miało być:


\(\displaystyle{ \lim_{ \to-1\ ^{+} }\frac{4-2x}{x+1}=\lim_{ \to-1\ ^{+} }\frac{4-2(-1)}{-1+1}= \left| \frac{6}{0}^+}\right|= \infty}\)-- 4 lut 2010, o 21:05 --dalej :


\(\displaystyle{ \lim_{ \to-1\ ^{-} }\frac{4-2x}{x+1}=\lim_{ \to-1\ ^{-} }\frac{4-2(-1)}{-1+1}= \left| \frac{6}{0}^-}\right|= -\infty}\)

[Mapedd]

wszystko źle

\(\displaystyle{ \lim_{x \to -\infty} f(x)=\lim_{x \to -\infty} \frac{4-2x}{x+1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x(4\frac{4}{x} - 2)}{x(\frac{1}{x}+})1=|| x \, sie \, skraca || =\lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{4}{x} - 2}{\frac{1}{x}+1}}\)


funkcja \(\displaystyle{ \frac{1}{x} \to 0}\) gdy \(\displaystyle{ x \to \pm \infty}\)

więc nasza granica

\(\displaystyle{ \lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{4}{x} - 2}{\frac{1}{x}+1} = \frac{0-2}{0+1} = \frac{-2}{1}=-2}\)

taka sama granica w \(\displaystyle{ -\infty}\) więc asymptotą obustronną poziomą jest prosta \(\displaystyle{ y=-2}\)


badają granice w \(\displaystyle{ -1}\) musisz zbadać znak mianownika , np dla \(\displaystyle{ x \to -1^-}\) , funkcja \(\displaystyle{ y=x+1}\) jest ujemna więc:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to -1^-} f(x) = \frac{6}{0^-}=-\infty}\)

[wentyl6210]

potem wyznaczyłem punkt przecięcia z osią OX

\(\displaystyle{ \frac{4-2x}{x+1}=0}\)

\(\displaystyle{ -2x=-4 \Rightarrow 2x=4 \Rightarrow x=2}\)

potem z osia OY

\(\displaystyle{ y=\frac{4-2*0}{0+1}=\frac{4}{1}4=}\)

4. obliczam pochodna

\(\displaystyle{ \frac{-2(x+1)-(4-2x)(x+1)}{(x+1)^2}=\frac{(-2x-2)-(4x+4-2x^2-2)}{(x+1)^2}=\frac{2x^2+2x-4}{(x+1)^2}}\)-- 4 lut 2010, o 21:21 --czemu = a nie minus ???
\(\displaystyle{ \lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{4}{x} - 2}{\frac{1}{x}+1} = \frac{0+2}{0+1} = \frac{2}{1}=2}\)

a nie tak

\(\displaystyle{ \lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{4}{x} - 2}{\frac{1}{x}+1} = \frac{0-2}{0+1} = \frac{2}{1}=-2}\)

[Mapedd]

pochodną wygląda na to ze dobrze masz, teraz z \(\displaystyle{ \Delta}\) liczysz miejsca zerowe i badasz znak pochodnej , pamiętając że \(\displaystyle{ (x+1)^2 \geqslant 0}\) więc na znak wpływa tylko licznik pochodnej, i popraw te granice w nieskończoności


jasne że minus dwa, pomyliłem się

[wentyl6210]

\(\displaystyle{ \Delta =b^2-4AC \Rightarrow\Delta= 2^2-4*2*(-1) \Rightarrow \Delta= 4+32=36}\)

-- 4 lut 2010, o 21:28 --

tylko teraz jak wyliczyć te pierwiaski z czego bo nie pamiętam-- 4 lut 2010, o 21:30 --z tym znakiem pochodnej troche nie czaje

[Mapedd]

liczysz pierwiastki pochodnej czyli licznika pochodnej, bo mianownik nie może być zero, rysujesz wykresik i patrzysz jak zmienia znak przy przechodzeniu przez miejsce zerowe ,jeśli z - na + to minimum lokalne, jesli z + na - to maximum lokalne

[wentyl6210]

chodzi mi o
\(\displaystyle{ X _{1} - oraz - X_{2}}\)

-- 4 lut 2010, o 21:38 --

no dobrze mam


\(\displaystyle{ y=0 \Leftrightarrow \frac{2x^2+2x-4}{(x+1)^2}=0 \Leftrightarrow 2x^2+2x-4=0}\)

oki ale nie wiem jak wyciągnąć z tego pierwiastek

-- 4 lut 2010, o 21:42 --

chodzi o

\(\displaystyle{ 2x^2+2x \rightarrow to \rightarrow jest \rightarrow x_1=2 \rightarrow a -4 \rightarrow to \rightarrow x_2=2}\)-- 4 lut 2010, o 21:44 --nie źle nie wiem

[Mapedd]

\(\displaystyle{ 2x^2+2x-4=0 \Rightarrow 2(x^2+x-2)=0 \Rightarrow x^2+x-2 = 0}\)

\(\displaystyle{ \Delta = 1-4\cdot (-2) = 1+8=9 \Rightarrow \sqrt{\Delta}=3}\)

\(\displaystyle{ x_1=\frac{-1-3}{2}= -2 \\ x_2=\frac{-1+3}{2}=1}\)

[wentyl6210]

dziękuje