Uzasadnić nierówności

[skywalker90]

Miałem ostatnio tą nierówność udowodnić Tw. Lagrange'a i to zrobiłem , teraz chodzi bardziej o zbadanie zmienności tych funkcji, tylko nie wiem do końca jak to zrobić...?
\(\displaystyle{ e^{x} > x + 1}\) dla x>0

Z tym to już całkiem nie mam pojęcia jak sobie poradzić...
\(\displaystyle{ \frac{\tg x}{x} < \frac{ \tg y } {y} dla 0<x<y< \frac{ \pi }{2}}\)

Nierówność Bernoulliego (także koszmar...):
\(\displaystyle{ (1+x)^n \geqslant 1 + nx}\) \(\displaystyle{ dla x \geqslant 0}\)

Nie potrzebuję konkretnego rozwiązania do zadania, ale może jakiś przykład jak do tego typu zadań się podchodzi. Znajduje się to w moim zestawie zatytułowanym Badanie funkcji, wzór Taylora, nierówności...

[Jake]

\(\displaystyle{ e ^{x} >x+1 <=> e ^{x} -x-1>0}\)
Rozważmy funkcję f(x) = e ^{x} -x-1 dla x>0

Co byś teraz intuicyjnie zrobił?

[skywalker90]

sprawdził czy jest rosnąca? dla x>0 ... no i wychodzi że jest, więc powyższy wzór jest prawdziwy, a te pozostałe dwa zadania, wiesz jak zrobić?

[Jake]

To, że rosnąca nie znaczy , że nierówność jest spełniona. Jeszcze jedna rzecz..

To 2. próbowałem podobnie , ale paskudne rzeczy powychodziły - sprobuje jeszcze wieczorem.

3. nie wiem jak pochodnymi można (o ile).

[czekoladowy]

Dla Nierówności Bernoulliego proponuje indukcję.

[Jake]

To, że rosnąca nie znaczy , że nierówność jest spełniona. Jeszcze jedna rzecz...

Wiesz już jaka?

2. Też można tym sposobem co i pierwsze.

Aby obliczyc pochodną uzależnij y od iksa. Potem rozważaj funkcje na przedziale \(\displaystyle{ (0; \frac{\pi}{2})}\), nastęnie ten krok, którego Ci i w pierwszym brakuje, a bedzie dobrze.

3. Jeżeli tam jest warunek, że \(\displaystyle{ n \in N}\), to tym samym sposobem i w sumie jest to najłatwiejsze zadanie z tych trzech

Jakby co, to pisz. Pozdr.

[skywalker90]

1, Trzeba było sprawdzić co wyjdzie dla x=0??

2. Jak mam uzależnić y od x??

3. nie ma warunku że \(\displaystyle{ n \in N}\)

[Jake]

1. Nie dla zera, lecz jesteś blisko, bowiem \(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 ^{+} } (...)}\) - miejsce na pomyślenie

2. np. istnieje \(\displaystyle{ c \in (0; \frac{\pi}{2})}\), takie, że \(\displaystyle{ y=x+c}\)

3. Ale jest to nierówność Bernoulliego więc \(\displaystyle{ n>0}\) i dowód jest tak samo ważny.

[skywalker90]

1. \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^+} e^x - x +1}\)
2. W tym to już chyba kapuję... coś spróbuję
3. Ale to nie ma być indukcyjnie, bo indukcyjnie pewnie bym i potrafił, ale chodzi o badanie funkcji....

[Jake]

1. OK, tylko ma być -1 . W samym zerze nie możesz, bo przecież nie nal. do dziedz. Z ressztą wyszłaby Ci sprzeczność.

2. Fajnie.

3. Ale ja nie mówie o indukcji (którą też sie da), tylko o badaniu funkcji tak samo jak w 1. i 2. Spróbuj , zobaczysz, że najłatwiejsze.