prosta całka

[kuba1337]

Proszę o pomoc z całką, zapomniałem już co nieco
\(\displaystyle{ \int_{}^{}e^{x}sin^{2}x dx}\)

[Dasio11]

Przez części i się zapętli?
Nie sprawdzałem
edit: sprawdzone.

[kuba1337]

no zapętla się, czyli ?:D

[Dasio11]

Czyli wyjdzie Ci z powrotem ta sama całka ale o współczynniku ujemnym, czyli można przenieść na drugą stronę i podzielić - coś w rodzaju:
\(\displaystyle{ x=\ldots=A-nx}\) zatem \(\displaystyle{ x=\frac{A}{n+1}}\)

[Bieniol]

Dasio11, jestem ciekaw Twojego rozwiązania, możesz je pokazać? Bo taką całkę (bez "modyfikacji") nijak przez części się nie rozwiąże (przynajmniej według mnie..)

Moja propozycja:

\(\displaystyle{ \int e^{x}sin^{2}x dx = \int e^{x} \cdot \frac{1-cos2x}{2} dx = \frac{1}{2} \int e^x dx - \frac{1}{2} \int e^xcos2x dx}\)

Pierwsza całka bez problemu, druga dwukrotnie przez części (zapętli się).

[czeslaw]

\(\displaystyle{ \int e^x \sin ^2x dx = \left|\begin{array}{c} u = \sin ^2x \Rightarrow du = \sin 2x dx \\ dv = e^x dx \Rightarrow v = e^x \end{array}\right| = e^x \sin^ 2x - \int e^x \sin 2x dx \\ \int e^x \sin 2x dx= \left| \begin{array}{c} u = \sin 2x \Rightarrow du = 2 \cos 2x dx \\ dv = e^x dx \Rightarrow v = e^x \end{array} \right| = e^x \sin 2x - 2\int e^x \cos 2x dx \\ \int e^x \cos 2x dx= \left| \begin{array}{c} u = \cos 2x \Rightarrow du = -2 \sin 2x dx \\ dv = e^x dx \Rightarrow v = e^x\end{array} \right| = e^x \cos 2x + 2 \int e^x \sin 2x dx \\ \int e^x \sin 2x dx = e^x sin 2x - 2e^x \cos 2x - 4 \int e^x \sin 2x dx \\ 5 \int e^x \sin 2x dx = e^x sin 2x - 2e^x \cos 2x \\ \int e^x \sin 2x dx = e^x(\frac{1}{5} \sin 2x - \frac{2}{5} \cos 2x) \\ \int e^x \sin ^2x dx = e^x(\sin^2 x - \frac{1}{5} \sin 2x + \frac{2}{5} \cos 2x)}\)

[Dasio11]

Mam dokładnie tak jak czeslaw
Nie pisałem, że zapętli się od razu :->

[Bieniol]

No chyba, że tak Ale wydaje mi się, że mój sposób jest szybszy i łatwiejszy

[czeslaw]

Pisania jest dokładnie tyle samo, po prostu ja zaprezentowałem wszystkie etapy, a Ty poprzestałeś na 1/3 pracy. U Ciebie trzeba znać wzór na kosinus kąta podwojonego, u mnie na sinus. Na jedno wychodzi.

Pozdrawiam.

[kuba1337]

dzieki za rozwiazania, musze poszukac te wzory na kąty podwojone

-- 8 lut 2010, o 00:31 --

Można prosić o wytłumaczenie co się wydarzyło w 4 linijce u czeslawa?

-- 8 lut 2010, o 00:40 --

nvm, juz widzę-- 8 lut 2010, o 00:53 --dlaczego w ostatniej linijce w całce sinus jest do kwadratu?

[Dasio11]

Bo taka była początkowa całka. czeslaw policzył to wszystko i z tego wynikł ostateczny rezultat, który jest w ostatniej linijce.