Geometryczny moment bezwładności dla figur płaskich

[SZEKEL]

Witam. Za zadanie mam wyznaczyć moment bezwładności kwadratu względem osi x, jednak mam mały w problem w obliczeniach:

Wzór na moment bezwładności względem osi x:
\(\displaystyle{ I _{x}= \int_{A}^{} y ^{2} dA}\)

gdzie:
\(\displaystyle{ dA = y \cdot dy}\)

\(\displaystyle{ I _{x}= \int_{A}^{} y ^{2}y \cdot dy= \frac{y ^{4} }{4}}\)

Moment bezwładności dla kwadratu to \(\displaystyle{ \frac{a ^{4} }{12}}\) i nie wiem w jaki sposób dojść do tych 12 w mianowniku. Co robimy z dolną granica całkowania A??

Pozdrawiam

[BettyBoo]

Wszystko Ci się pomerdało

Po pierwsze, to jest tylko symboliczny zapis całki - u Ciebie jest to konkretnie całka podwójna.

Po drugie, dla cytowanego wzoru \(\displaystyle{ A}\) jest kwadratem o boku \(\displaystyle{ a}\), przy czym zakłada się, że początek układu współrzędnych leży w środku ciężkości tego kwadratu - a więc

\(\displaystyle{ A:\quad -\frac{a}{2}\le x\le \frac{a}{2},\quad -\frac{a}{2}\le y\le \frac{a}{2}}\).

Po trzecie \(\displaystyle{ dA=dxdy}\) (jest to tzw element powierzchni - wskazanie "zmiennej" całkowania, którą tutaj jest obszar płaski na płaszczyźnie kartezjańskiej)

Czyli

\(\displaystyle{ I _{x}= \iint_Ay^2dxdy=\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}}dx\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}}y^2dy=...=\frac{a^4}{12}}\)

Pozdrawiam.