granica ciągu

[jarulek]

chcę obliczyć \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } [ \frac{2n + 3}{4n + 5}]^{n}}\)
i tak do Eulera nie mogę sprowadzić wyciągając n przed nawias i skracając też chyba nie bo wynik wyjdzie źle, czyli jak ?

[Bieniol]

Jeżeli musisz ze sprowadzaniem do takiej postaci, to:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( \frac{2n +3}{4n+5} \right) ^{n} = \lim_{n \to \infty } \left( \frac{4n+5-2n-2}{4n+5} \right) ^n = \lim_{n \to \infty } \left(1+ \frac{-2n-2}{4n+5} \right)^n =}\)

\(\displaystyle{ = \lim_{n \to \infty } \left[ \left(1+ \frac{-2n-2}{4n+5} \right)^{ \frac{4n+5}{-2n-2}} \right]^{ \frac{-2n^2-2n}{4n+5} } = e^{- \infty }=0}\)

Ale wydaje mi się, że od razu możesz stwierdzić:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( \frac{2n +3}{4n+5} \right) ^{n} = \left( \frac{1}{2} \right)^{ \infty } = 0}\)

[jarulek]

no właśnie tak zrobiłem jak to drugie ale wtedy stwierdziłem że to jest nieskończoność ale teraz jak patrze to licznik rośnie szybciej czyli dąży do 0, dzięki wielkie.

[Bieniol]

ale teraz jak patrze to licznik rośnie szybciej czyli dąży do 0

Chyba raczej chciałeś powiedzieć: mianownik

[jarulek]

tak mianownik, myślę o czym innym i pisze co innego.

[iXmerof]

Możesz mi wytłumaczyć skąd to 2gie stwierdzenie?

[Zordon]

\(\displaystyle{ = \lim_{n \to \infty } \left[ \left(1+ \frac{-2n-2}{4n+5} \right)^{ \frac{4n+5}{-2n-2}} \right]^{ \frac{-2n^2-2n}{4n+5} } = e^{- \infty }=0}\)

przyjrzyj się dokładnie definicji liczby e

[iXmerof]

Mi chodzi o przejście prędzej, do 1/2

[Bieniol]

No bo granica ciągu (tego wewnątrz):

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( \frac{2n +3}{4n+5} \right) = \frac{1}{2}}\)

[iXmerof]

A mi się wydawało, że coś wyimaginowanego ;P Dzięki