Ekstremum funkcji potęgowej

[lpek58]

\(\displaystyle{ y= \sqrt[3]{x^2}-1, D=R}\)

Liczę pochodną i wychodzi \(\displaystyle{ \frac{2}{3 \sqrt[3]{x} }, D=R-\{0\}}\)

Pochodna ta nigdy się nie zeruje, więc ekstremum może istnieć w punkcie w którym funkcja nie jest różniczkowalna jest to więc punkt 0.

Obliczam nierówność:
\(\displaystyle{ \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}>0 \\
\frac{1}{\sqrt[3]{x}}>0 \\
x>0}\)

Analogicznie dla \(\displaystyle{ \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}<0}\)
wychodzi \(\displaystyle{ x<0}\)

Więc pochodna zmienia znak i funkcja ma w tym punkcie maksimum lokalne.
Jednak rysując wykres tej funkcji , widać że jest ona ściśle rosnąca i nie może posiadać ekstremum, gdzie tu jest błąd?
Zauważyłem, że programy graficzne rysują funkcję \(\displaystyle{ x^{ \frac{1}{3} }}\) tylko dla dodatnich wartości, a przecież dziedziną takiej funkcji jest R.

[miki999]

Więc pochodna zmienia znak i funkcja ma w tym punkcie maksimum lokalne.

A dlaczego maksimum?

Jednak rysując wykres tej funkcji , widać że jest ona ściśle rosnąca i nie może posiadać ekstremum, gdzie tu jest błąd?

Nie- posiada ekstremum. Łatwo zauważyć, że ta funkcja jest symetryczna względem OY (bo \(\displaystyle{ x^2=(-x)^2}\) a pierwiastek powoduje nam jedynie wolniejszy wzrost). Od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ \infty}\) rośnie- co jest oczywiste.

[lpek58]

Sorki, powinno być minimum

Ale zasadnicze jest tutaj pytanie co jest dziedziną tego wyrażenia \(\displaystyle{ \sqrt[3]{x}}\) czy R czy tylko nieujemne.
Gdyby prawdziwe byłoby to drugie , to ekstremum tej funkcji nie istniałoby (bo dla x<0 byłaby nierówność sprzeczna), no ale tak jak mówie, gdy wrzuce to do programu graficznego rysuje mi on tyllko dla dodatnich wartości.... więc coś tu jest nie tak.

[miki999]

Ale zasadnicze jest tutaj pytanie co jest dziedziną tego wyrażenia \(\displaystyle{ \sqrt[3]{x}}\) czy R czy tylko nieujemne.

\(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)

Gdyby prawdziwe byłoby to drugie , to ekstremum tej funkcji nie istniałoby (bo dla x<0 byłaby nierówność sprzeczna),

Dlaczego niby? Mamy funkcję \(\displaystyle{ f(x)=\sqrt[3]{x^2}-1}\)- a to jest określone na \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\). A czy pochodna zmienia znak czy nie to bez znaczenia- można zbadać otoczenia zera (oczywiście wyjściowej funkcji, a nie pochodnej).

[lpek58]

okej, ale trzymajmy się tego, że każą mi badać poprzez znak pochodnej ; )
A co z tym wykresem?

[miki999]

A co z tym wykresem?

Nie wiem- mój rysuje (Graph).