Mam problem z paroma zadaniami :
1) Wyznaczyć \(\displaystyle{ \bigcup_{b>0}^{} \bigcap_{a>0}^{}}\)A oraz\(\displaystyle{ \bigcup_{a>0}^{} \bigcap_{b>0}^{}}\) jesli \(\displaystyle{ A= {(x,y) \in R^{2}: ax - b \le y \le ax + b}}\)
2) Udowodnic ze relacja - w zbiorze liczb niewymiernych \(\displaystyle{ x \sim y \Leftrightarrow x^{2} - y^{2} \in Q}\) jest relacja rownoważności. Czy klasy abstrakcji sa przeliczalne? Czy zbior \(\displaystyle{ R-Q_{ \sim }}\) jest przeliczalny? ODP uzasadnic.
3 Niech \(\displaystyle{ f : R ^{2} \rightarrow R^{2}}\) gdzie \(\displaystyle{ f(x,y)=(x+y,x-y)}\). Wyznaczyc zbiory \(\displaystyle{ f(A)}\) oraz\(\displaystyle{ f^{-1}(A)}\) gdzie\(\displaystyle{ a=(0,1)^{2}}\).
Moje odpowiedzi:
Zad 1
a) \(\displaystyle{ \bigcup_{b>0}^{} \bigcap_{a>0}^{}}\)A= \(\displaystyle{ RxR}\)
Jak robie przecięcie po a wychodzi mi \(\displaystyle{ x^{2} + y^{2} = b^{2}}\) a pozniej suma po b czyli cała płaszczyzna.
b) \(\displaystyle{ \bigcup_(a>0)^{} \bigcap_{b>0)^{}}\)A=\(\displaystyle{ RxR}\)
Jak robie przeciecie po b to wychodzi mi prosta \(\displaystyle{ y = ax}\) a suma po a znow cala płaszczyzna
Zad 2
Z udowodnieniem ze jest to klasa równoważności nie mam problemu.
Klasa abstrakcji tej releacji to \(\displaystyle{ [x] _{ \sim }}\) = {\(\displaystyle{ y \in Q \sqrt{2} : y= \sqrt{x + q} \in Q}\)}
Klasa abstrakcji jest przeliczalna. Ale nie wiem jak dobrze to uzasadnic . Zbiór \(\displaystyle{ R-Q _{ \sim }}\) jest nieprzeliczalny tez nie wiem jak to poprawnie uzasadnic.
Zad 3
Zbiór \(\displaystyle{ f(A)}\) to \(\displaystyle{ y>-x +2 \wedge y < -x + 4 \wedge y <x+2 \wedge y>x-2}\)
Czyli taki kwadracik
Zbior \(\displaystyle{ f^{-1}(A)}\) to \(\displaystyle{ x>0 \wedge y >0 \wedge y < -x +2}\)
-- 4 lut 2010, o 17:40 --
mógłby ktos sprawdzić?
-- 4 lut 2010, o 19:39 --
Mógłby ktos pomoc?
-- 4 lut 2010, o 19:55 --
?-- 4 lut 2010, o 21:31 --W zadaniu 1 zle zrobilem powinno byc
\(\displaystyle{ \bigcap_{b>0}^{} \bigcap_{a>0}^{}= {0}x R}\) oraz
\(\displaystyle{ \bigcap_{a>0}^{} \bigcap_{b>0}^{}=(- \infty ,0) \times (0,- \infty ) \cup (0, \infty ) \times (0, \infty ) \cup <0,0>}\) Czyli 1sza i 3cia cwiartka ukladu wspolrzednych bez osi