Prosiłabym o pomoc w rozwiązaniu tych zadań:
1. Czy prawdziwe jest stwierdzenie: jeśli G i H są grupami, H nie jest abelowa to \(\displaystyle{ G \times H}\) nie jest abelowa? Udowodnić lub podać kontrprzykład.
2. Podać przykład grupy nieabelowej w której istnieje podgrupa rzędu 4 i podgrupa indeksu 3.
3. Czy pierścienie
a) \(\displaystyle{ Q[X]/(X^{2}(X+2)) \ i \ Z[X]/(2X-3)}\)
b) \(\displaystyle{ Z[X]/(X^{2}+2X+1) \ i \ Z[X]/(X^{2}+3X+2)}\)
są izomorficzne?
Oraz o sprawdzenie poprawności rozumowania w tych:
4. a) Podać przykład grupy nieskończonej w której istnieje podgrupa właściwa indeksu 6.
odp: Grupa \(\displaystyle{ Z}\) i jej podgrupa \(\displaystyle{ 6Z}\)
b) Podać przykład grupy nieskończonej w której istnieje podgrupa rzędu 10.
odp. Grupa wszystkich premutacji na zbiorze liczb naturalnych i jej podgrupa to np. podgrupa generowana przez dowolny cykl 10-elementowy
c) Podać przykład grupy G i jej podgrupy normalnej H takiej że \(\displaystyle{ G/H}\) nie jest izomorficzna z żadną podgrupą grupy G.
odp. Grupa \(\displaystyle{ Z}\) i jej podgrupa \(\displaystyle{ 6Z}\)
5. Podać rozkład na czynniki nierozkładalne wielomianu \(\displaystyle{ 3X^{4}+24X^{2}+48}\) nad pierścieniem \(\displaystyle{ Q(i)}\).
Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ 3X^{4}+24X^{2}+48=3(X^{4}+8X^{2}+16)=3(X^{2}+4)^{2}=3(X-2i)^{2}(X+2i)^{2}}\)
i tutaj się zacinam bo 3 jest rozkładalne, więc wypadałoby je rozłożyć a ja nie wiem jak.