Gran z egz (czy zawsze można brać e do potegi??)

[Jake]

Witam, dziś rano egzamin: obliczyć granice:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to0 } (sinx) ^{x}}\)

z 10 ludzisków słyszałem wymieniali jakieś tam konkretne granice(0 lub 1 chyba), tyllko ja z nich napisałem, że nie istnieje. Jak to jest w takich zadaniach więc? (jak ktoś zacznie robić zobaczy, że jak weźmiemy e^ i wyciągniemy x przed logarytm, to ograniczymy dziedzine.. Pytanie można tak czy nie?? Oraz ta gran. w końcu istn. czy nie (bo przecież nie ma lewostronnej po wyciągnięciu..)? Od rana szukam odp. i nic prawie nie znalazłem.

Dzieki za pomoc.

[klaustrofob]

\(\displaystyle{ \ln (\sin x)^x = x\ln\sin x=\frac{\ln{\sin x}}{\frac{1}{x}}}\) granicę tego można obliczyć za pomocą tw. de l'Hospitala. po przejściu do pochodnych \(\displaystyle{ \frac{\ctg x}{-\frac{1}{x^2}}=-\frac{x^2}{\sin x}\cdot \cos x}\) i widać, że to dąży do 0. czyli granica wyjściowego wyrażenia to \(\displaystyle{ e^0=1}\)

[Jake]

No własnie nie mozna ! jak x dąży z lewej do zera to \(\displaystyle{ lnsinx}\) nie istnieje przecież. Moge sobie prawostronną obliczyć, ale po co mi ona skoro pytanie brzmi: obliczyć granice wyrażenia.. W takich przypadkach ona istnieje i ją liczymy, albo nie i dajemy odpowiedź, tak czy nie??

A poza tym zastanawiam sie właśnie, o czym już wcześniej napisałem, czy to że ten logarytm nie istnieje po przekształceniach takowych implikuje, że ta granica lewostronna nie istnieje...

[Zordon]

funkcja jest bardzo źle określona dla \(\displaystyle{ x}\) ujemnych więc badanie granicy z lewej niezbyt ma sens

[klaustrofob]

słusznie. z drugiej strony, jeżeli spojrzeć na dziedzinę funkcji, to chyba naturalne jest przyjąć, że jest ona sumą pewnych przedziałów. w okolicach zera jest to przedział (0,pi] - w tym przypadku można pisać zwyczajny limes zamiast limes zero plus. inny "argument" - jeżeli przyjąć Twoją interpretację - nie twierdzę, że jest błędna, przeciwnie, opiera się na dokładnym interpretowaniu definicji - to granica nie istniałaby dlatego, że funkcja nie jest określona na lewo od 0, a nie dlatego, że w otoczeniu 0 funkcja zachowuje się "dziwacznie". myślę, że można się spierać - byłby to jednak spór jałowy, bo dotyczący intencji egzaminatora. może być tak, że masz rację, jednak druga strona też może ją mieć
-----
jak widzę, Zordon argumentuje podobnie jak ja.

[Jake]

Drodzy koledzy,

Zordonie: nie jest dla mnie jasnym stwierdzenie; bardzo źle określona . Czy tak napisałbyś na egzaminie??

klaustrofobie: zawężasz dziedzine odrzucając wszystko na lewo od zera i zero? dobrze rozumiem? ze wzgl. że to jest wykładniczopodobna" funkcja?

[cytat]
opiera się na dokładnym interpretowaniu definicji - to granica nie istniałaby dlatego, że funkcja nie jest określona na lewo od 0, a nie dlatego, że w otoczeniu 0 funkcja zachowuje się "dziwacznie" [koniec cytatu] - ależ ja nic o dziwacznym zachowywaniu sie nie pisałem, lecz właśnie o tym, że na lewo od zero nie jest określona I TU sygnalizuje PROBLEM - to logarytm nie jest określony, a nie funkcja wyjściowa.. stąd dylematy, co do nie-istnienia granicy lewostronnej, a co za tym idzie -> podania odpowiedzi finalnej.

czekam na odp. ,pozdrawiam!

[klaustrofob]

Jake - dla mnie analizowanie dla jakich x<0 funkcja \(\displaystyle{ x^x}\) (albo \(\displaystyle{ (\sin x)^x}\)) jest określona, a dla jakich nie, jest nic nie wnoszącą kazuistyką. podaj choć jedną książkę, której autor uprawia tego rodzaju masochizm. być może egzaminatorowi o to właśnie chodziło - nie upieram się przy mojej interpretacji - ale takie podejście zakwalifikowałbym jako dziwaczne. tyle z mojej strony.

[Zordon]

Nie można rozpatrywać granicy tej funkcji w \(\displaystyle{ 0}\) bo definicja dopuszcza jedynie punkty, które posiadają otoczenie, w którym funkcja jest określona. Punkt \(\displaystyle{ 0}\) nie ma takiego otoczenia.

[Jake]

W sumie racja, przecież dla każdego ułamka, \(\displaystyle{ x \in (-1,0)}\) wyrrażenie \(\displaystyle{ (sinx) ^{x}}\), który ma choćby w liczniku jedynke a mianownik parzysty funkcja nie jest określona np. \(\displaystyle{ sin( \frac{-1}{1000} )^{ \frac{-1}{1000} }}\) , czyli stosunowo blisko zera, nie istnieje itd.

Teraz zastanawiam sie w takim razie jak prawidłowo rozwiązać takie zadanie na egzaminie?

1) Napisać, że po lewej blisko zera funkcja jest nieokreślona ==> granica lewostronna nie istnieje==> granica funkcji przy x->0 nie istnieje. I sie nie bawić w jakiekolwiek rachunki.
czy:
2) lewostronna granica nie istnieje, bo tam f. jest nieokreślona , prawostronna wynosi:...

Wg mnie to 1. podejście jest prawidłowe o ile pytanie było obliczyć granicĘ, a nie granice. ( taki haczyk)

JAk myslicie?

Pozdrawiam.-- 5 lutego 2010, 22:13 --Rzeczywiście, pani dr wyjaśniła mi jak powinno wyglądać rozwiązanie. Istotnie przyjmuje sie, że dziedzina w tym przypadku, to \(\displaystyle{ x>0}\) a z def. granicy wiemy, że x muszą nal. do dziedz. dlatego liczy sie jedynie prawostronną. Jednakże z tego wzgl., że lewej nie liczymy w ogóle bo te iksy nie nal. do dziedz. , nie trzeba zaznaczać plusem tej prawostronności, gdyż jest to "oczywiste", że tej lewej strony nie bierzemy pod uwage.