obliczyć całkę

[darecki]

mam wyznaczyć pole obszaru między liniami,po przekształceniach dochodzę do całki \(\displaystyle{ \int_{-3}^{3} \left \frac{27}{ x^{2}+9 } - \frac{x ^{2} }{6} \right}\)

i co dalej? mam parę pomysłów ale wychodzą brednie

[mikolajr]

rozbijasz na dwie całki pierwsza dzielisz licznik i mianownik przez 9 z czego pozniej wychodzi

\(\displaystyle{ \int_{-3}^{3} \left \frac{3}{ (\frac{x}{3})^{2}+1 } - \int_{-3}^{3}\frac{x ^{2} }{6} \right}\)

i wychodzi

\(\displaystyle{ 9 \left [ arctg(\left \frac{x}{3} \right) \right] ^3_{-3} - \left [\frac{x ^{3} }{18} \right]^3_{-3}}\)

[darecki]

no jasne...teraz to jestem na realnym gruncie...nie wiedziałem jak zabrać się za pierwszą całkę..coś świtało że może chodzic o arctg..
dzięki-- 2 lut 2010, o 22:56 --ale jeszcze jedno..skąd wzięła sie 9 przed pierwszą całką

[mikolajr]

\(\displaystyle{ \int_{-3}^{3} \left \frac{3}{ (\frac{x}{3})^{2}+1 }dx - \int_{-3}^{3}\frac{x ^{2} }{6}dx \right \ = \ 3 \int_{-3}^{3} \left \frac{1}{ (\frac{x}{3})^{2}+1 }dx - \int_{-3}^{3}\frac{x ^{2} }{6}dx \right}\)


widać to dokładniej z całkowania przez podstawienie:

\(\displaystyle{ 3 \int \left \frac{1}{ (\frac{x}{3})^{2}+1 }dx \left|\begin{array}{c}\ \frac{x}{3}=t \ \\ \ \frac{1}{3} dx = dt \ \\ \ dx=3dt \ \end{array}\right| = 3\int \left \frac{3}{ t^{2}+1 } = 3 \cdot 3 \int \left \frac{1}{ t^{2}+1 }dx = 9 \left arctg \left t + C = 9 \left arctg \left \frac{x}{3} + C}\)

[darecki]

teraz jasne..dzięki