Ciąg arytmetyczny kilka zadań

[solarq]

1. Dla jakich k równanie \(\displaystyle{ x^{4}-(3k+2)x^{2}+k^{2}=0}\) ma conajmniej trzy różne pierwiastki, które są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego?

2. Wykaz, ze dla dowolonego ciągu arytmetycznego zachodzi równość \(\displaystyle{ S_{3n}=3(S_{2n}-S_{n})}\), gdzie \(\displaystyle{ S_{k}}\) oznacza sumę k początkwych wyrazów ciągu.

3. Koszt wykopania przez firme pierwszego metra studni wynosi 70zł, a za wykopanie kazdego nastepnego metra trzeba zapłacić o 10zł wiecej niz za wykopanie poprzedniego. Pan Marek zlecił firmie wykopanie studni na swojej działce. Okazało sie, ze sredni koszt wykopania jednego metra wyniósł 120zł. Oblicz głębokość studni na działce pana Marka.

4. Wykaz, ze jezeli liczby \(\displaystyle{ a^{2}, b^{2}, c^{2}}\) tworza ciag arytmetyczny, ktory nie jest stały to liczby \(\displaystyle{ \frac{1}{b+c}}\),\(\displaystyle{ \frac{1}{a+c}}\), \(\displaystyle{ \frac{1}{a+b}}\) równiez tworza ciag arytmetyczny.

5. Kazda z liczb k, m, n, x jest dodatnia i różna od 1, zas liczby\(\displaystyle{ log_{k}x, log_{m}x, log_{n}x}\) są kolejnymi wyrazami siagu arytmetycznego. Wykaz, ze \(\displaystyle{ n^{2}=(kn)^{log_{k}m}.}\)

[piwcuk]

Ad. 2

Wiedząc, że \(\displaystyle{ S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}n}\)
oraz \(\displaystyle{ S_{2n}=\frac{a_{1}+a_{2n}}{2}2n}\)
a także \(\displaystyle{ S_{3n}=\frac{a_{1}+a_{3n}}{2}3n}\)

możesz to podstawic do równania, które masz udowodnić.

otrzymasz \(\displaystyle{ a_{2n}=\frac{a_{n}+a_{3n}}{2}}\)

a dalej wystarczy podstawić \(\displaystyle{ a_{2}=a_{1}+(2n-1)r}\) \(\displaystyle{ a_{1}}\) i \(\displaystyle{ a_{3}}\) analogicznie, wrzucic do otrzymanego rownanka i zobaczyc jak sie prawa strona z lewą pieknie zgodzi

[LecHu :)]

3. \(\displaystyle{ S_{n}=\frac{n\{70+(70 +(n-1)\cdot 10)\}}{2}}\)
Obliczasz to po prawej, a potem dzielisz to przez n i to bedzie rowne 120, z tego policz sobie n.
\(\displaystyle{ \frac{S_{n}}{n}=120}\)

[Dooh]

ad 4.
z wlasnosci ciagu arytmetycznego

\(\displaystyle{ \frac{1}{a+c}=\frac{\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+b}}{2}\\\frac{2}{a+c}=\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+b}\\2=\frac{(a+c)(a+b)+(b+c)(a+c)}{(b+c)(b+a)}}\)

teraz mnozysz stronami przez mianownik, i wymnazasz nawiasy, wszystko sie poskraca, zostanie :

* \(\displaystyle{ 2b^2=a^2+c^2}\)

z warunkow zadania mamy ze \(\displaystyle{ b^2=\frac{a^2+c^2}{2}}\)

wstawiając do * otrzymujemy tożsamość co konczy zadanie jak widać to sama sieczka więc moglem po drodze jakas "literowke" zrobic

[sir_matin]

ad. 5

\(\displaystyle{ 2log_{m}x=log_{k}x+log_{n}x\\\frac{2}{log_{x}m}=\frac{1}{log_{x}k}+\frac{1}{log_{x}n}}\)
\(\displaystyle{ \frac{2}{log_{x}m}=\frac{log_{x}k+log_{x}n}{log_{x}klog_{x}n}\\2log_{x}k log_{x}n=log_{x}m log_{x}(kn)}\)
\(\displaystyle{ 2log_{x}n=\frac{log_{x}m}{log_{x}k}{log_{x}(kn)}\\log_{x}n_^{2}=log_{k}m log_{x}(kn)\\log_{x}n_^{2}=log_{x}(kn)^{log_{k}m}\\n^{2}=(kn)^{log_{k}m}}\)

[Tristan]

Zad.1
Dane równanie dwukwadratowe ma co najwyżej cztery pierwiastki rzeczywiste. Ponieważ pierwiastki równania są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, który musi być co najmniej trzywyrazowy, należy rozważyć dwie możliwości:
1. Dane równanie dwukwadratowe ma trzy rozwiązania,
2. Dane równanie dwukwadratowe ma cztery rozwiązania.

Podstawiając \(\displaystyle{ x^2=t}\), gdzie \(\displaystyle{ t \geq 0}\) otrzymujemy równanie kwadratowe postaci (1) \(\displaystyle{ t^2-(3k+2)t +k^2=0}\) , gdzie kolejnymi współczynnikami są: \(\displaystyle{ a=1, b=-(3k+2), c=k^2}\).

1. Dane równanie dwukwadratowe ma trzy pierwiastki wtedy i tylko wtedy, gdy równanie kwadratowe (1), gdzie \(\displaystyle{ a>0}\) ma dwa pierwiastki: \(\displaystyle{ t_{1}>0}\) i \(\displaystyle{ t_{2}=0}\), co jest równoważne koniunkcji warunków: \(\displaystyle{ \Delta>0 \wedge -\frac{b}{a}>0 \wedge \frac{c}{a}=0}\). Zatem:
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l} 5k^2+12k+4>0 \\ 3k+2>0 \\ k^2=0 \end{array}}\)
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l} k -\frac{2}{5} \\ k>-\frac{2}{3} \\ k=0 \end{array}}\)
\(\displaystyle{ k=0}\)

Dla \(\displaystyle{ k=0}\) równanie dwukwadratowe ma postać:
\(\displaystyle{ x^4-2x^2=0}\)
\(\displaystyle{ x^2(x^2-2)=0}\)
\(\displaystyle{ x^2=0 \vee x^2=2}\)
\(\displaystyle{ x_{1}=x_{2}=0 \vee (x_{3}=- \sqrt{2} \vee x_{4}= \sqrt{2})}\)
Liczby \(\displaystyle{ -\sqrt{2},0, \sqrt{2}}\) tworzą ciąg arytmetyczny, więc mamy już jedną wartość \(\displaystyle{ k=0}\).

2. Dane równanie dwukwadratowe ma cztery pierwiastki, wtedy i tylko wtedy, gdy równanie dwukwadratowe (1), gdzie \(\displaystyle{ a>0}\) ma dwa pierwiastki: \(\displaystyle{ t_{1}>0}\) i \(\displaystyle{ t_{2}>0}\), co jest równoważne koniunkcji warunków: \(\displaystyle{ \Delta>0 \wedge -\frac{b}{a}>0 \wedge \frac{c}{a}>0}\). Stąd:
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}5k^2+12k+4>0 \\ 3k+2>0 \\ k^2>0 \end{array}}\)
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}k-\frac{2}{5} \\ k>-\frac{2}{3} \\ k \in (- \infty;0) \cup ( 0;\infty) \end{array}}\)
\(\displaystyle{ k \in ( -\frac{2}{5}; 0) \cup (0; \infty)}\)
Niech \(\displaystyle{ t_{1}>t_{2}>0}\), wtedy kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego są liczby: (2) \(\displaystyle{ -\sqrt{t_{1}}, -\sqrt{t_{2}}, \sqrt{t_{2}}, \sqrt{t_{1}}}\).
Z definicji ciągu arytmetycznego mamy \(\displaystyle{ - \sqrt{t_{2}} -(-\sqrt{t_{1}})=\sqrt{t_{2}} - (-\sqrt{t_{2}})=\sqrt{t_{1}} - \sqrt{t_{2}}}\), skąd po opuszczeniu lewej strony tożsamości \(\displaystyle{ \sqrt{t_{1}} - \sqrt{t_{2}}=- \sqrt{t_{2}} -(- \sqrt{t_{1}})}\) mamy \(\displaystyle{ 3 \sqrt{t_{2}}=\sqrt{t_{1}}}\), czyli \(\displaystyle{ 9t_{2}=t_{1}}\).
Ze wzorów Viete'a mamy \(\displaystyle{ t_{1}+t_{2}=3k+2}\) i \(\displaystyle{ t_{1} \cdot t_{2}=k^2}\).
Rozwiązujemy układ równań metodą podstawiania:
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l} t_{1}+t_{2}=3k+2 \\ t_{1}t_{2}=k^2 \\ t_{1}=9t_{2} \end{array}}\)
Z drugiego i trzeciego równania:
\(\displaystyle{ 9t_{2}^2=k^2}\)
\(\displaystyle{ t_{2}=\frac{k}{3} \wedge t_{2}=-\frac{k}{3}}\)
Z pierwsziego i trzeciego równania:
\(\displaystyle{ 9t_{2}+t_{2}=3k+2}\)
\(\displaystyle{ 10t_{2}=3k+2}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}10t_{2}=3k+2 \\ t_{2}=\frac{k}{3} \vee t_{2}=-\frac{k}{3} \end{array}}\)
\(\displaystyle{ 10 \cdot \frac{k}{3}=3k+2 \vee 10 \cdot ( -\frac{k}{3})=3k+2}\)
\(\displaystyle{ k=6 \vee k=-\frac{6}{19}}\)
Oba wyniki spełniają warunek \(\displaystyle{ k \in(-\frac{2}{5};0) \cup(0; \infty)}\).

Dla \(\displaystyle{ k=6}\) mamy \(\displaystyle{ t_{1}=18}\) i \(\displaystyle{ t_{2}=2}\), więc równanie dwukwadratowe ma pierwiastki spełniające warunek (2), czyli: \(\displaystyle{ -3 \sqrt{2}, - \sqrt{2}, \sqrt{2}, 3 \sqrt{2}}\).
Dla \(\displaystyle{ k=-\frac{6}{19}}\) mamy \(\displaystyle{ t_{1}=\frac{18}{19}}\) oraz \(\displaystyle{ t_{2}=\frac{2}{19}}\) i dane równanie ma pierwiastki spełniające warunek (2), czyli: \(\displaystyle{ -3 \sqrt{ \frac{2}{19}}, - \sqrt{ \frac{2}{19}}, \sqrt{ \frac{2}{19}}, 3 \sqrt{ \frac{2}{19}}}\).
Alternatywa warunków 1. i 2. wyznacza zbiór rozwiązań równania dwukwadratowego.
Odp: Pierwiastki równania są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego wtedy i tylko wtedy, gdy parametr \(\displaystyle{ k \in \{ -\frac{6}{19}, 0,6 \}}\)