Całka po trójkącie (do sprawdzenia)

pawel1a · Post autor: **pawel1a** » 2 lut 2010, o 17:58

Obliczyć całkę \(\displaystyle{ \int_{}^{} \int_{}^{} ydxdy}\) gdzie D jest trójkątem o wierzchołkach A=(0;0) B=(2;2) C=(2;4)

Więc tak
x\(\displaystyle{ \in}\) <0;2>
y\(\displaystyle{ \in}\)<2y;y>

\(\displaystyle{ \int_{0}^{2}( \int_{2y}^{y}[x+y]dy)= \int_{0}^{2}[ y^{2}-2y^{2}]_{2y}^{y}=[ \frac{1}{3} \cdot y^{3} - \frac{2}{3} y^{3}]_{0}^{2}= \frac{8}{3}- \frac{16}{3}=-\frac{8}{3}}\)

Bardzo proszę o sprawdzenie

Post autor: **Nakahed90** » 2 lut 2010, o 18:02

Źle jest policzona.

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 2 lut 2010, o 18:03

Nie wiem, co Ty tu zrobiłeś...

Jak dla mnie to jest tak: \(\displaystyle{ 0\le x\le 2,\ x\le y\le 2x}\) więc

\(\displaystyle{ \iint_D ydxdy=\int_0^2dx\int_{x}^{2x}ydy}\)

Oblicz jeszcze raz

Pozdrawiam.

pawel1a · Post autor: **pawel1a** » 2 lut 2010, o 18:20

Jeszcze raz więc tak

\(\displaystyle{ \iint_D ydxdy=\int_0^2dx\int_{x}^{2x}ydy=\int_{0}^{2}( \int_{y}^{2y}[xy])dy= \int_{0}^{2}[ y^{2}-2y^{2}]_{y}^{2y}dy=[- \frac{1}{3} \cdot y^{3} +\frac{2}{3} y^{3}]_{0}^{2}= -\frac{8}{3}+ \frac{16}{3}=\frac{8}{3}}\)

mi po poprawce wychodzi taki wynik jak wyżej a metoda zapisu jest taka jak nas w szkole uczę w razie błędu proszę wskazać. z góry dzięki

Post autor: **Nakahed90** » 2 lut 2010, o 18:21

Nie, na jakiej podstawie określasz funkcje podcałkową i pierwotną?

pawel1a · Post autor: **pawel1a** » 2 lut 2010, o 18:31

Określam te funkcje na podstawie schematów jakie nam podano na wykładach w celu ułatwienia

-- 2 lut 2010, o 18:37 --

mógłby mi ktoś pomóc poprawnie rozwiązać

I w mathcadzie wynik wyszedł mi taki sam jak wyliczyłem

Bieniol · Post autor: **Bieniol** » 2 lut 2010, o 19:50

BettyBoo, Twój zapis:

\(\displaystyle{ \iint_D ydxdy=\int_0^2dx\int_{x}^{2x}ydy}\)

Może wprowadzać troszkę w błąd, lepiej jest zapisać to w ten sposób:

\(\displaystyle{ \iint_D ydxdy=\int_0^2 \left[\int_{x}^{2x}ydy \right] dx}\)

Żeby nikt nie wpadł na pomysł całkowania najpierw po \(\displaystyle{ x}\), a potem po \(\displaystyle{ y}\) (bądź też równocześnie)

pawel1a · Post autor: **pawel1a** » 2 lut 2010, o 19:52

wielkie dzięki

Bieniol · Post autor: **Bieniol** » 2 lut 2010, o 19:54

pawel1a, ale Twój wynik jest zły. Powinno wyjść \(\displaystyle{ = 4}\).

I kompletnie nie rozumiem Twojego sposobu rozwiązywania tego typu zadań..

\(\displaystyle{ y \in \left< 2y;y\right>}\)

Przecież to jest "bełkot"..

pawel1a · Post autor: **pawel1a** » 2 lut 2010, o 20:01

a możesz rozpisać to krok po kroku, ja liczę tak jak nas na polibudzie uczą, a wynik sprawdzałem w programie matematycznym do liczenia całek mathcad

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 2 lut 2010, o 20:01

Twojej metody nie rozumiem, więc trudno mi cokolwiek poprawiać. Wynik jest w każdym razie błędny.

Rozwiązanie metodą standardową wygląda tak:

\(\displaystyle{ \iint_D ydxdy=\int_0^2dx\int_{x}^{2x}ydy=\int_0^2\left.\frac{y^2}{2}\right|_x^{2x} dx=\frac{3}{2}\int_0^2x^2dx=\frac{3}{2}\left.\frac{1}{3}x^3\right|_0^2=4}\)

Pozdrawiam.

PS Bieniol, to jest sposób zapisu całki, w którym nie trzeba używać nawiasów - w przeciwieństwie do tego, który Ty proponujesz, a który bez nawiasów jest nieczytelny (chociaż znam takich, którzy zapisują to bez nawiasów i żyją ). Jak tam kto sobie woli.

Bieniol · Post autor: **Bieniol** » 2 lut 2010, o 20:06

pawel1a, masz rozwiązanie powyżej. Ciekaw jestem, na jakiej politechnice tak uczą..?

BettyBoo Miałem na myśli to, że laik w sprawach całkowych może zinterpretować Twój zapis jako: "całka z 1 do iksach \(\displaystyle{ \cdot}\) całka z y po igrekach", a jak wiadomo to nie to samo.. Nie miej mi tego za złe, dbam o dobro innych

pawel1a · Post autor: **pawel1a** » 2 lut 2010, o 20:22

nas uczy pan doctor takiego zapisu, a obliczcie taką całkę po panu doktorze

\(\displaystyle{ x \in \left<0;2 \right>}\)

\(\displaystyle{ y \in \left<x^2-x;x \right>}\)

\(\displaystyle{ \iint_{D} xdxdy= \int_{0}^{2}( \int_{x ^{2}-x }^{x}xdy)dx}\)

tą akurat mój pan doctor policzył, wy też policzcie zobaczymy czy tak samo wyjdzie

Bieniol · Post autor: **Bieniol** » 2 lut 2010, o 20:32

Na szybko wyszło mi: \(\displaystyle{ = \frac{4}{3}}\)

pawel1a · Post autor: **pawel1a** » 2 lut 2010, o 20:38

zgadza się i liczone tą dziwną metoda, a u góry w przykładzie faktycznie zrobiłem błąd