Wyprowadzic wzor na.. korzystajac z calki oznaczonej.

[Herb]

Zadania.

1.Wyprowadzić wzór na objętość kuli za pomocą całki oznaczonej
2. Wyprowadzić wzór na objętość stożka o wysokości h i promieniu r.

Prosiłbym o rozwiązanie, ewentualnie jakies słowne wytlumaczenie jak wykonać te zadania krok po kroku

[nuclear]

wiesz co to układ współrzędnych walcowych i sferycznych, czy musisz to robić w kartezjańskim.

[Herb]

\(\displaystyle{ V= \pi [\int_{a}^{b} f(x)dx]^{2}}\)

Wiedzieć wiem, ale ze zrozumieniem tych układów to już inna sprawa, która metoda jest bardziej zrozumiała?

[Mariusz M]

Ad 1

Funkcją f jest półokrąg

\(\displaystyle{ f \left(x \right)= \sqrt{r^2-x^2}}\)

Ad 2

Funkcją f jest tworząca stożka

\(\displaystyle{ f \left(x \right)=- \frac{h}{r}x}\)


Ostatecznie otrzymujesz

Ad 1

\(\displaystyle{ \pi \int_{-r}^{r}{ \left(r^2-x^2 \right) \mbox{d}x }}\)

Ad 2

\(\displaystyle{ \frac{h^2}{r^2} \pi \int_{0}^{r}{x^2 \mbox{d}x }}\)

Tak tyle że ten trójkąt obraca się wokół OX a nie OY i trzeba np zamienić h z r

Można też wysokość położyć na osi OX wtedy będziemy mieli

Funkcją f jest tworząca stożka

\(\displaystyle{ f \left(x \right)=- \frac{r}{h}x}\)

\(\displaystyle{ \frac{r^2}{h^2} \pi \int_{0}^{h}{x^2 \mbox{d}x }}\)

[Herb]

Przy stożku mam \(\displaystyle{ \frac{2}{3}\pi r^{2} h}\) ;/

-- 2 lutego 2010, 15:51 --

1.Wyprowadzić wzór na objętość kuli za pomocą całki oznaczonej

\(\displaystyle{ \\
V= \pi [\int_{a}^{b} f(x)dx]^{2} \\ \\
f \left(x \right)= \sqrt{r^2-x^2}
\\ \\ \\

V = \pi \int_{-r}^{r}{ \left(r^2-x^2 \right) \mbox{d}x } = \pi*r^{2} \int_{-r}^{r} dx - \pi*r^{2} \int_{-r}^{r} x^2 = \\

V= 2\pi r^3 - \frac{2}{3}\pi r^{3} = \frac {4}{3} \pi r^3}\)

Obj. stożka

\(\displaystyle{ \\
V= \pi [\int_{a}^{b} f(x)dx]^{2} \\
f \left(x \right)= \frac{r}{h}x \\ \\

V=\pi \int_{0}^{h} \frac{r^{2}}{h^{2}}x^{2}dx =\frac {\pi r^{2}}{h^{2}} \int_{0}^{h} x^2 dx = \frac{1}{3} \pi r^{2}h}\)

[Mariusz M]

No i dobrze obliczyłeś


Na początku wyszło Tobie 2 razy za dużo
ponieważ prawdopodobnie wziąłeś za duży przedział

\(\displaystyle{ <-h;h>}\)

zamiast

\(\displaystyle{ <0;h>}\)