Topologia pytania ogólne

[---AgA---]

Witam !!!
Proszę o pomoc w rozwiązaniu tego testu. Na pytania należy odpowiedzieć tak, lub nie (proszę o takie zwięzłe (tak w jednym zdaniu np) wytłumaczenie dlaczego taka odpowiedź ).

1. W dowolnej przestrzeni metrycznej zbiór dwuelementowy jest :
a) zbiorem domknietym
b) zbiorem zwartym
c) zbiorem brzegowym
d) zbiorem spójnym

2.Rozważmy R z topologią \(\displaystyle{ \tau}\) = { \(\displaystyle{ \emptyset}\) , (0,5), R } czy:
a) przestrzeń (R,\(\displaystyle{ \tau}\)) nie spełnia pierwszego aksjomatu przeliczalności
b) przestrzen (R,\(\displaystyle{ \tau}\)) jest przestrzenią Haussdorffa

3. W dowolnej przestrzeni topologicznej prawdziwe jest zdanie:
a) zbior skończony jest zbiorem domkniętym
b)jeżeli A jest w sobiee gęsty to A jest domknietym
c) jeśli \(\displaystyle{ A^{d}}\) = \(\displaystyle{ \emptyset}\) to zbiór A jest domkniety

4.Czy prawdziwe jest zdanie
a) Każdy zbiór zwarty jest domknięty
b) w przestrzeni zwartej każdy niepusty zbior domknięty jest zwarty
c) W R z topologią z wyróżnionym punktem \(\displaystyle{ x _{0}}\) =1 zbiór A={ 2,3} jest zwarty

5. Przestrzen topologiczna strzałka jest przykladem przestrzeni topologicznej która:
a) nie jest spójna i nie jest zwarta

6.W R z topologia naturalną
a) zbiór liczb całkowitych jest zbiorem pierwszej kategorii
b) zbiór liczb wymiernych jest zbiorem w sobie gęstym
c)przedział [0,1) jest zbiorem drugiej kategorii


Z gory dziekuję za wszelką pomoc i uwagi

[Luxy]

1. W dowolnej przestrzeni metrycznej zbiór dwuelementowy jest :
a) zbiorem domknietym - nie jestem pewien, ale myślę, ze tak
b) zbiorem zwartym
c) zbiorem brzegowym
d) zbiorem spójnym - nie

2.Rozważmy R z topologią au = { emptyset , (0,5), R } czy:
a) przestrzeń (R, au) nie spełnia pierwszego aksjomatu przeliczalności
b) przestrzen (R, au) jest przestrzenią Haussdorffa - nie, bo nie da się oddzielić 2 punktów zbiorami otwartymi, niepustymi i rozłącznymi, po prostu mamy za mało zbiorów otwartych w tej topologii.

3. W dowolnej przestrzeni topologicznej prawdziwe jest zdanie:
a) zbior skończony jest zbiorem domkniętym - nie wiem
b)jeżeli A jest w sobiee gęsty to A jest domknietym - tak, bo A gęsty w sobie, tzn. jego domknięcie to cały zbiór A
c) jeśli A^{d} = emptyset to zbiór A jest domkniety - tak, pierwsza własność na stronie

4.Czy prawdziwe jest zdanie
a) Każdy zbiór zwarty jest domknięty - nie, chyba że jest zwarty w przestrzeni Hausdorffa.
b) w przestrzeni zwartej każdy niepusty zbior domknięty jest zwarty - tak
c) W R z topologią z wyróżnionym punktem x _{0} =1 zbiór A={ 2,3} jest zwarty