Rownanie rozniczkowe drugiego rzedu - do sprawdzenia

[solmech]

Witam,

prosilbym o sprawdzenie. Dziekuje z gory.

\(\displaystyle{ y'' - y' + \frac{1}{4}y = e^x}\)

\(\displaystyle{ 1)}\)

\(\displaystyle{ y'' - y' + \frac{1}{4}y = 0}\)

\(\displaystyle{ \Rightarrow P( \lambda ) = \lambda^2 - \lambda + \frac{1}{4}}\)

Miejsca zerowe

\(\displaystyle{ \Delta = 0}\)

\(\displaystyle{ \lambda _{1,2} = \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ \Rightarrow y _{h} = C _{1} e^x + C _{2} xe^x}\)

\(\displaystyle{ 2)}\)

\(\displaystyle{ y _{s} = Ae^x}\)
\(\displaystyle{ y _{s}' = Ae^x}\)
\(\displaystyle{ y _{s}'' = Ae^x}\)

\(\displaystyle{ \Rightarrow Ae^x - Ae^x + \frac{1}{4}(Ae^x) = e^x}\)

\(\displaystyle{ A = 4}\)

\(\displaystyle{ \Rightarrow y _{s} = 4e^x}\)

\(\displaystyle{ 3)}\)

\(\displaystyle{ y = y _{h}+y _{s}}\)

\(\displaystyle{ y = C _{1} e^x + C _{2} xe^x + 4Ae^x}\)

Pozdrawiam
Tomek

[Vigl]

Dobrze, tylko chyba zapomniałeś o pierwiastku tutaj:
\(\displaystyle{ y_h=C_1e^{\frac{1}{2}x}+C_2xe^{\frac{1}{2}x}}\)

[solmech]

Racja, zapomnialem! Dzieki.