granice ciągu i funkcji - kto pomoże?

[cycleteam]

Proszę o rozwiązanie przykładów poniżej albo chociaż o podanie wskazówek jak rozwiązać poniższe granice. Z góry wielkie dzięki za pomoc !!

1. \(\displaystyle{ \lim_{ x\to 3 } \frac{ \sqrt{ x^{2}-2x+6 } - \sqrt{x^{2}+2x-6} }{ x^{2}-4x+3 }}\) \(\displaystyle{ \Leftarrow}\) Tu podejrzewam wynik... \(\displaystyle{ \frac{1}{0} = \infty}\)

2. \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{ \sqrt[3]{ n^{2}+1 } }{n}}\)

3. \(\displaystyle{ \lim_{ x\to +\infty } \frac{\pi - 2\arctan x}{\ln(1 + \frac{1}{x} )}}\)

4. \(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 } \frac{\sin2x * \sin5x}{ x^{2} }}\)

5. \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{(2n ^{2} + 3n - 5) (2n - 1) }{(n + 1) (3n - 2) (3 - 2n)}}\)

6. \(\displaystyle{ \lim_{ x\to1 } e ^{ \frac{x ^{2} - 1 }{x - 1} }}\)

7. \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{2 ^{n} }{4 ^{n} - 3 ^{n} }}\) \(\displaystyle{ \Leftarrow}\) Tu podejrzewam wynik... \(\displaystyle{ \frac{1}{0} = \infty}\)


+ pytanie.. może wyjść wynik \(\displaystyle{ e ^{0}}\) ??

[miki999]

Do sprawdzenia::

7.\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{2 ^{n} }{4 ^{n} - 3 ^{n} } = \frac{1}{0} = \infty}\)

źle- nie rozumiem wniosków.

1. Zapewne licznik da się zamienić na: \(\displaystyle{ a-b= \frac{a^2-b^2}{a+b}}\)

2., 5.* Porównaj wykładniki \(\displaystyle{ n}\) w liczniku i mianowniku.
*i współczynniki przy największej potędze.

6. \(\displaystyle{ x^2-1=(x-1)(x+1)}\)

[cycleteam]

w 7 wyciągnąłem \(\displaystyle{ 2 ^{n}}\) przed nawias w mianowniku i mi się skróciło. Źle? Jeśli tak to jak zrobić?

[miki999]

w 7 wyciągnąłem \(\displaystyle{ 2 ^{n}}\) przed nawias w mianowniku i mi się skróciło. Źle?

A \(\displaystyle{ \infty-\infty=0}\)? No nie za bardzo.

Wyciągnij \(\displaystyle{ 4^n}\) lub \(\displaystyle{ 3^n}\)- bez różnicy.

[cycleteam]

Tak ale przecież jak wyciągniemy \(\displaystyle{ 2 ^{n}}\) to mamy w mianowniku 0 - 0 no nie ?

[miki999]

\(\displaystyle{ \frac{4^n}{2^n} \rightarrow \infty}\) no nie?

[cycleteam]

A no tak.. Do 0 zmierza jak mianownik jest większy od licznika.. To w takim jak to rozwiązać ? Może ktoś to rozpisać a jak nie to chociaż coś z pozostałych..

w 5 przykładzie wyjdzie \(\displaystyle{ \frac{-2}{3}}\), w 2 przykładzie 0 a w 3 przykładzie -2 ??

Może ktoś sprawdzić ??

[EnsamVarg]

Tak.
7. Po podzieleniu licznika i mianownika przez \(\displaystyle{ 4^n}\) ciag przyjmuje postac
\(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{2^n}}{1-\Big (\frac{3}{4}\Big )^n}}\)
Licznik zmierza do zera, a mianownik do 1, zatem granica ciagu jest zero.

[cycleteam]

Dziekuje EnsamVarg, za pomoc

A co z resztą pomoże ktoś ??