Kilka zadań z logarytmów

[solarq]

1. \(\displaystyle{ \frac{|log(x+1)|}{x^{2}-1}}\)\(\displaystyle{ \leq}\)\(\displaystyle{ log(x+1)^{2}}\)

2. \(\displaystyle{ x^{\frac{1}{4}(7+log_{2}x)}\)\(\displaystyle{ \geq}\)\(\displaystyle{ 2^{1+log_{2}x)}\)

3. \(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}2log_{x}2+3log_{y}2=0\\x^{2}-4y^{2}=0\end{array}}\)

4. Dla jakich k równanie \(\displaystyle{ \frac{log(-x) + logk}{log(3-x)}=2}\) ma dokladnie jeden pierwiastek? Oblicz go.

5. Wykaż, ze najwieksza wartość funkcji \(\displaystyle{ f(x)=log_{3}6x-log_{3}(x^{2}+1)}\) jest równa 1.

Z góry dzieki za pomoc, mam nadziej, ze mój Tex jest w porządku.

Pozdrawiam.

[Tristan]

4. Może i mało ambitnie zaczynam po (prawie) dwutygodniowej przerwie, ale w tej chwili nie mam czasu na więcej
\(\displaystyle{ \frac{ \log(-x) + \log k}{ \log(3-x)}=2}\), oczywiście odpowiednie założenia ( w tym, że \(\displaystyle{ k (0; )}\))
\(\displaystyle{ \log(-x)+\log k=2 \log (3-x)}\)
\(\displaystyle{ \log -kx=\log (3-x)^2}\)
Ponieważ podstawy logarytmów są równe i większe od 1( bo są równe 10), więc:
\(\displaystyle{ -kx=(3-x)^2}\)
\(\displaystyle{ -kx=9-6x+x^2}\)
\(\displaystyle{ x^2+(k-6)x+9=0}\)
Teraz można zrobić dwoma sposobami.
Pierwszy to zauważenie wzoru skróconego mnożenia i stwierdzenie, że jedynie rozwiązanie będzie wtedy, gdy k-6=6, czyli k=12.
Drugi sposób: Aby to równanie miało jedno rozwiązanie, to \(\displaystyle{ \Delta=0}\), czyli:
\(\displaystyle{ (k-6)^2-36=0}\)
\(\displaystyle{ k^2-12k+36-36=0}\)
\(\displaystyle{ k(k-12)=0}\)
\(\displaystyle{ k=0 k=12}\)
Zauważmy, że k=0 nie spełnia założeń, więc ostatecznie k=12.

[Tomasz Rużycki]

no to ja tez sobie jedno napisze


5.

x>0.

\(\displaystyle{ \frac{6x}{x^2+1}\leq 3}\), rownowaznie

\(\displaystyle{ (x-1)^2\geq 0}\), co konczy dowod.

[Tristan]

3. Zał: \(\displaystyle{ x,y (0;1) \cup (1; )}\)
\(\displaystyle{ x^2 - 4y^2=0}\)
\(\displaystyle{ x^2=(2y)^2}\)
\(\displaystyle{ x=2y}\), bo x,y są tego samego znaku.
\(\displaystyle{ 2\log_{x} 2+3 \log_{y}2=0}\)
\(\displaystyle{ \log_{x} 2^2+ \log_{\frac{x}{2}}2^3=0}\)
\(\displaystyle{ - \log_{\frac{x}{2}}8 = \log_{x} 4}\)
\(\displaystyle{ \log_{\frac{x}{2}} \frac{1}{8}=\log_{x} 4}\)
Z definicji logarytmu mamy więc:
\(\displaystyle{ (\frac{x}{2})^{\log_{x}4}=\frac{1}{8}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ x^{\log_{x} 4}}{ 2^{\log_{x} 4}}=\frac{1}{8}}\)
Korzystając z tego, że \(\displaystyle{ x^{\log_{x}4}=4}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 4 8=2^{\log_{x} 4}}\)
\(\displaystyle{ 2^5=2^{\log_{x} 4}}\)
\(\displaystyle{ 5=\log_{x} 4}\)
\(\displaystyle{ x= \sqrt[5]{4}}\)
\(\displaystyle{ y=\frac{ \sqrt[5]{4}}{2}}\)
Wyniki nie są jakieś piękne, więc może się gdzieś machnąłem, ale ja żadnego błędu nie widzę.

[Tomasz Rużycki]

Pierwsze juz bylo, poszukaj.

Co do drugiego - skorzystaj z tego, ze \(\displaystyle{ a^{b+c} = a^b\cdot a^c}\) oraz \(\displaystyle{ a^{\log_a b} = b}\).