Oblicz pochodną z definicji.

[trn]

\(\displaystyle{ f(x) = cos ^{2} x}\)
dla \(\displaystyle{ x _{0} \in R}\)

[Adifek]

\(\displaystyle{ f'(x)=2cosx \cdot (-sinx)=-2sinxcosx=-sin2x}\)

[trn]

o ile się nie mylę, to jak się liczy z definicji to musi mieć chyba postać:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \frac{cosx-cosx _{0} }{x-x _{0} }}\)

[Adifek]

nie zauważyłem, że z definicji.

Użyję wzorów na sumę i różnicę cosinusów,
cos0=1 i sin0=0 oraz że \(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{sinh}{h} =1}\)
\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{cos^{2}(x+h)-cos^{2}x}{h}=
\lim_{h \to 0} \frac{[cos(x+h)-cos][cos(x+h)+cosx]}{h} =
\lim_{h \to 0} \frac{-2sin \frac{2x+h}{2} sin \frac{h}{2} \cdot 2 cos \frac{2x+h}{2} cos \frac{h}{2} }{h} =
\lim_{h \to 0} \frac{-2sin( \frac{2x+h}{2} )sin( \frac{h}{2} ) \cdot 2cos( \frac{2x+h}{2} )cos( \frac{h}{2} )}{h} =
\lim_{h \to 0} \frac{-2sin(2x+h) \cdot sinh}{h} =
\lim_{h \to 0} -sin(2x+h)=
\lim_{h \to 0}-sin2x= -sin2x}\)

Za tak długie coś należy się pomagajka

-- 26 stycznia 2010, 23:52 --

Gotowe

[trn]

z góry przepraszam, że znowu z tym samym, ale siedzimy z kumplem godzinę i nie możemy obczaić:

standardowo pochodna z definicji:

\(\displaystyle{ f(x)=x \sqrt{x}}\)

w punkcie \(\displaystyle{ x _{0} > 0}\)

zatrzymaliśmy się na:

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to x _{0} } \frac{x \sqrt{x} - x_{0} \sqrt{x_{0}}}{x-x_{0}}}\)

nie zaszaleliśmy, ale wierzymy w was, bo jutro już egzamin ;D


ps czy ten przykład rozwaliliśmy dobrze?

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0} (tgx)^x}\)

\(\displaystyle{ tgx=a}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} a^x = 1}\)

coś za proste nam się to wydaje ;p

[Adifek]

Łatwiej by Ci się liczyło ze wzoru
\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}\)
gdzie h to właśnie przyrost argumentu. To upraszcza zapis...
i pragnę zauważyć, że tgx=0, więc wychodzi wam 0 do zerowej...

[trn]

kolego błagam, help, egzamin za 3,5 godziny a ja ciągle tego nie umiem;] mozesz rozwiązać to co podałem? jak już tego nie zrozumiem, to się poddam ;]

[fttrobin]

wedlug moich wyliczyeń to będzie coś takiego:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to x_{0}}\frac{x\sqrt{x} - x_{0}\sqrt{x_{0}}}{x-x_{0}} = \lim_{x\to x_{0}} \frac{x^{3} -x_{0}^{3}}{(x-x_{0})(x\sqrt{x} + x_{0}\sqrt{x_{0}})} = \lim_{x\to x_{0}}\frac{(x-x_{0})(x^{2} + xx_{0} + x_{0}^{2})}{(x-x_{0})(x\sqrt{x} + x_{0}\sqrt{x_{0}})} = \lim_{x\to x_{0}} \frac{x^{2} + xx_{0} + x_{0}^{2}}{x\sqrt{x} + x_{0}\sqrt{x_{0}}} = \frac{3x_{0}}{2\sqrt{x_{0}}}}\)

Pozdrawiam

[trn]

dzięki wielkie, wiele mi ten przykład wyjaśnił. leci "pomógł". będę musiał chyba wbić do działu dla licealistów i odkupić jakoś waszą pomoc bo chyba tak to działa nie? wy pomagacie mi, ja młodszym itd ;]