bardzo prosze o pomoc, jak rozwiazac rownanko
\(\displaystyle{ xy'-4y-x ^{2} \sqrt{y} =0}\)
rozwiazac rownanie
-
nemezis100807
- Użytkownik
- Posty: 100
- Rejestracja: 30 mar 2009, o 18:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 7 razy
rozwiazac rownanie
Szczegółowy sposób rozwiązywania takich zadań znajdziesz pod tym adresem: https://matematyka.pl/91755.htm
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6953
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1254 razy
rozwiazac rownanie
nemezis100807, trochę stary ten post ale może się komuś przyda
\(\displaystyle{ xy'-4y-x ^{2} \sqrt{y} =0}\)
\(\displaystyle{ y'- \frac{4}{x} y=x \sqrt{y}}\)
Jest to równanie Bernoulliego
Trzeba zastosować podstawienie
\(\displaystyle{ z= \sqrt{y}}\)
Pomnóżmy równanie przez \(\displaystyle{ \frac{1}{2 \sqrt{y} }}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2 \sqrt{y} }y'- \frac{2}{x} \sqrt{y} = \frac{1}{2} x}\)
Wstawiam nową zmienną
\(\displaystyle{ z'- \frac{2}{x}z = \frac{1}{2} x}\)
Teraz można użyć uzmienniania stałej albo pomnożyć przez czynnik całkujący
\(\displaystyle{ z=c \left(x \right)e^{- \int{- \frac{2}{x} \mbox{d}x } } \\
z=c \left(x \right)x^2}\)
\(\displaystyle{ c' \left(x \right)x^2+2xc \left(x \right)- \frac{2}{x}c \left(x \right)x^2= \frac{1}{2}x\\
c' \left(x \right)x^2= \frac{1}{2}x\\
c' \left(x \right) = \frac{1}{2x}}\)
\(\displaystyle{ c \left(x \right)= \frac{1}{2}\ln{x}+C}\)
\(\displaystyle{ z= \frac{1}{2}x^2\ln{x}+Cx^2}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{y}=\frac{1}{2}x^2\ln{x}+Cx^2\\
y= \frac{1}{4}x^4\ln^{2}{x}+Cx^4\ln{x}+C^2x^4}\)
\(\displaystyle{ xy'-4y-x ^{2} \sqrt{y} =0}\)
\(\displaystyle{ y'- \frac{4}{x} y=x \sqrt{y}}\)
Jest to równanie Bernoulliego
Trzeba zastosować podstawienie
\(\displaystyle{ z= \sqrt{y}}\)
Pomnóżmy równanie przez \(\displaystyle{ \frac{1}{2 \sqrt{y} }}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2 \sqrt{y} }y'- \frac{2}{x} \sqrt{y} = \frac{1}{2} x}\)
Wstawiam nową zmienną
\(\displaystyle{ z'- \frac{2}{x}z = \frac{1}{2} x}\)
Teraz można użyć uzmienniania stałej albo pomnożyć przez czynnik całkujący
\(\displaystyle{ z=c \left(x \right)e^{- \int{- \frac{2}{x} \mbox{d}x } } \\
z=c \left(x \right)x^2}\)
\(\displaystyle{ c' \left(x \right)x^2+2xc \left(x \right)- \frac{2}{x}c \left(x \right)x^2= \frac{1}{2}x\\
c' \left(x \right)x^2= \frac{1}{2}x\\
c' \left(x \right) = \frac{1}{2x}}\)
\(\displaystyle{ c \left(x \right)= \frac{1}{2}\ln{x}+C}\)
\(\displaystyle{ z= \frac{1}{2}x^2\ln{x}+Cx^2}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{y}=\frac{1}{2}x^2\ln{x}+Cx^2\\
y= \frac{1}{4}x^4\ln^{2}{x}+Cx^4\ln{x}+C^2x^4}\)