Wyliczyłem całeczkę, ale w jednym momencie nie wiem czy pewien pierwiastek z liczby 2 mogę wyrzucić przed całkę więc proszę o sprawdzenie:) :
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \sqrt{-2x^{2}+5x-2} dx}\)
wyliczamy p i q, i podstawiamy:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \sqrt{-2(x- \frac{5}{4})^{2}+\frac{9}{8}} dx=\int_{}^{} \sqrt{2(-(x- \frac{5}{4})^{2}+\frac{9}{16})} dx= \int_{}^{} \sqrt{2}* \sqrt{\frac{9}{16}-(x- \frac{5}{4})^{2}}dx= \sqrt{2}* \int_{}^{} \sqrt{\frac{9}{16}-(x- \frac{5}{4})^{2}}dx=\sqrt{2}*arcsin \frac{16x-20}{9}+ c}\)-- 27 sty 2010, o 00:51 --Dobrze to jest?:)
Sprawdzenie wyliczonej całeczki
-
blanco18
- Użytkownik
- Posty: 84
- Rejestracja: 24 lut 2009, o 21:21
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 14 razy
- Pomógł: 1 raz
Sprawdzenie wyliczonej całeczki
pochodna arsin = \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}}\) o ile mnie pamięć nie myli:)
więc faktycznie musiał by być ułamek, a ja skorzystałem ze wzoru \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{\sqrt{q^{2} -(x+p)^{2}}}}\)
Popełniłem poza błędem zastosowania, na pewno to, że moje q ze wzoru nie zostało spierwiastkowane.
Więc po wyliczeniu p i q i sprowadzeniu do postaci \(\displaystyle{ \int_{}^{} \sqrt{ \frac{9}{16} - (x- \frac{5}{4})^{2}}}\) co ja mogę zrobić?
mogę skorzystać ze wzoru \(\displaystyle{ \int_{}^{} \sqrt{q^{2}-x^{2}} dx}\) przekształcając \(\displaystyle{ x^{2}}\) na wyrażenie\(\displaystyle{ (x+a)^{2}}\)? tak nie można chyba, że wynik by jakoś też zmienić:| Chyba że rozbić to może jakoś na kilka pierwiastków? bo podstawianiem to raczej nie wyjdzie.
więc faktycznie musiał by być ułamek, a ja skorzystałem ze wzoru \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{\sqrt{q^{2} -(x+p)^{2}}}}\)
Popełniłem poza błędem zastosowania, na pewno to, że moje q ze wzoru nie zostało spierwiastkowane.
Więc po wyliczeniu p i q i sprowadzeniu do postaci \(\displaystyle{ \int_{}^{} \sqrt{ \frac{9}{16} - (x- \frac{5}{4})^{2}}}\) co ja mogę zrobić?
mogę skorzystać ze wzoru \(\displaystyle{ \int_{}^{} \sqrt{q^{2}-x^{2}} dx}\) przekształcając \(\displaystyle{ x^{2}}\) na wyrażenie\(\displaystyle{ (x+a)^{2}}\)? tak nie można chyba, że wynik by jakoś też zmienić:| Chyba że rozbić to może jakoś na kilka pierwiastków? bo podstawianiem to raczej nie wyjdzie.
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6953
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1254 razy
Sprawdzenie wyliczonej całeczki
\(\displaystyle{ \int{ \sqrt{-2x^2+5x-2} \mbox{d}x }}\)
Zastosuj trzecie podstawienie Eulera
\(\displaystyle{ \sqrt{ \left(x-2 \right) \cdot \left(1-2x \right) }= \left(x-2 \right)t}\)
Potem można dwa razy przez części i powinno wyjść
Możesz też zastosować podstawienie
\(\displaystyle{ x- \frac{5}{4}= \frac{3}{4}\sin{t}}\)
Można też całkując przez części-- 27 stycznia 2010, 19:07 --\(\displaystyle{ \int_{}^{} \sqrt{-2x^{2}+5x-2} dx= \left(x- \frac{5}{4} \right) \sqrt{-2x^2+5x-2}+2\int{ \frac{ \left(x- \frac{5}{4} \right) ^2}{ \sqrt{-2x^2+5x-2} } \mbox{d}x }}\)
Zastosuj trzecie podstawienie Eulera
\(\displaystyle{ \sqrt{ \left(x-2 \right) \cdot \left(1-2x \right) }= \left(x-2 \right)t}\)
Potem można dwa razy przez części i powinno wyjść
Możesz też zastosować podstawienie
\(\displaystyle{ x- \frac{5}{4}= \frac{3}{4}\sin{t}}\)
Można też całkując przez części-- 27 stycznia 2010, 19:07 --\(\displaystyle{ \int_{}^{} \sqrt{-2x^{2}+5x-2} dx= \left(x- \frac{5}{4} \right) \sqrt{-2x^2+5x-2}+2\int{ \frac{ \left(x- \frac{5}{4} \right) ^2}{ \sqrt{-2x^2+5x-2} } \mbox{d}x }}\)
-
blanco18
- Użytkownik
- Posty: 84
- Rejestracja: 24 lut 2009, o 21:21
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 14 razy
- Pomógł: 1 raz
Sprawdzenie wyliczonej całeczki
A jak potem ustalam dx? po prostu zastępuje dx=dt czy muszę liczyć pochodną z pierwiastka i wtedy \(\displaystyle{ moja pochodna*dx=t(x-x_{0}) *dt}\) ?mariuszm pisze:\(\displaystyle{ \int{ \sqrt{-2x^2+5x-2} \mbox{d}x }}\)
Zastosuj trzecie podstawienie Eulera
\(\displaystyle{ \sqrt{ \left(x-2 \right) \cdot \left(1-2x \right) }= \left(x-2 \right)t}\)
Potem można dwa razy przez części i powinno wyjść
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6953
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1254 razy
Sprawdzenie wyliczonej całeczki
\(\displaystyle{ \int{ \sqrt{-2x^2+5x-2} \mbox{d}x }}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{ \left(x-2 \right) \left(1-2x \right) }= \left( x-2\right) t}\)
\(\displaystyle{ \left(x-2 \right) \left(1-2x \right) = \left( x-2\right)^2 t^2}\)
\(\displaystyle{ \left(1-2x \right) = \left( x-2\right) t^2}\)
\(\displaystyle{ 1-2x = xt^2-2t^2}\)
\(\displaystyle{ 1+2t^2 = xt^2+2x}\)
\(\displaystyle{ 1+2t^2 = x \left(t^2+2 \right)}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{2t^2+1}{t^2+2}=2- \frac{3}{t^2+2}}\)
\(\displaystyle{ \mbox{d}x =-3 \cdot \left(-1 \right) \cdot \left(t^2+2 \right)^{-2} \cdot \left(2t \right) \mbox{d}t}\)
\(\displaystyle{ \mbox{d}x = \frac{6t}{ \left(t^2+2 \right) ^2} \mbox{d}t}\)
Wyznaczasz x z podstawienia i dopiero wtedy liczysz pochodną
\(\displaystyle{ \sqrt{ \left(x-2 \right) \left(1-2x \right) }= \left( x-2\right) t}\)
\(\displaystyle{ \left(x-2 \right) \left(1-2x \right) = \left( x-2\right)^2 t^2}\)
\(\displaystyle{ \left(1-2x \right) = \left( x-2\right) t^2}\)
\(\displaystyle{ 1-2x = xt^2-2t^2}\)
\(\displaystyle{ 1+2t^2 = xt^2+2x}\)
\(\displaystyle{ 1+2t^2 = x \left(t^2+2 \right)}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{2t^2+1}{t^2+2}=2- \frac{3}{t^2+2}}\)
\(\displaystyle{ \mbox{d}x =-3 \cdot \left(-1 \right) \cdot \left(t^2+2 \right)^{-2} \cdot \left(2t \right) \mbox{d}t}\)
\(\displaystyle{ \mbox{d}x = \frac{6t}{ \left(t^2+2 \right) ^2} \mbox{d}t}\)
Wyznaczasz x z podstawienia i dopiero wtedy liczysz pochodną