Witam,
Mam problem z paroma przykładami. Wzór znam, ale albo gdzieś robię błędy w rozumowaniu albo te przykłady są takie głupie.
Polecenie: Obliczyć całki \(\displaystyle{ \iintfds}\), gdy:
1) \(\displaystyle{ f(x,y,z)=x+y+\sqrt{\frac{z}{1+4z}}}\), S - część paraboloidy \(\displaystyle{ z=x^{2}+y^{2}}\) leżąca poniżej płaszczyzny \(\displaystyle{ z=4}\)
Tutaj dochodzę do całki \(\displaystyle{ \iint_{D}(x\sqrt{1+4(x^{2}+y^{2})}+y\sqrt{1+4(x^{2}+y^{2})}+\sqrt{x^{2}+y^{2}})dxdy}\), gdzie D jest okręgiem o promieniu 2 i środku w punkcie (0,0).
Dalej wprowadzam współrzędne biegunowe (\(\displaystyle{ r \in (0,2), \alpha \in (0,2\pi))}\).
No i na koniec otrzymuję całkę: \(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi}(\int_{0}^{2}(r^{2}cos\alpha\sqrt{1+4r^{2}}+r^{2}sin\alpha\sqrt{1+4r^{2}}+r^{2})drd\alpha}\)
No i nie wiem co dalej.
2) \(\displaystyle{ f(x,y,z)=|xyz|}\), S - część paraboloidy \(\displaystyle{ z=x^{2}+y^{2}}\) położona pod płaszczyzną \(\displaystyle{ z=1}\).
Tutaj znowu dochodzę do całki \(\displaystyle{ \iint_{D}|x^{3}+y^{3}|\sqrt{1+4(x^{2}+y^{2})}dxdy}\)
Wprowadzam znowu współrzędne biegunowe (\(\displaystyle{ r \in (0,1), \alpha \in (0,2\pi)}\)) i mam \(\displaystyle{ \iint_{M}|r^{3}cos^{3}\alpha+r^{3}sin^{3}\alpha|\sqrt{1+4r^{2}}drd\alpha}\)
No i tutaj znowu się pogubiłem.
Całka po polu powierzchni
-
TheBizarre
- Użytkownik
- Posty: 32
- Rejestracja: 7 wrz 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tomaszów Mazowiecki
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 3 razy
-
Bieniol
- Użytkownik
- Posty: 480
- Rejestracja: 26 gru 2009, o 15:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 138 razy
Całka po polu powierzchni
W 2 na pewno źle wymnożyłeś w module i zgubiłeś jakobian.. Powinno być:
\(\displaystyle{ \iint_{D}|xy(x^{2}+y^{2})|\sqrt{1+4(x^{2}+y^{2})}dxdy}\)
I teraz jak przejdziesz na współrzędne biegunowe, to dostaniesz:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi} \left[ \int_{0}^{1} |rcos\alpha \cdot rsin\alpha \cdot r^2|\sqrt{1+4r^2} \cdot r dr \right] d\alpha = \int_{0}^{2\pi} \left[ \int_{0}^{1} r^5 \cdot \sqrt{1+4r^2} \cdot |cos\alpha \cdot sin\alpha|dr \right] d\alpha}\)
Problem będzie z tym modułem, więc trzeba będzie tę zewnętrzną całkę rozbić na 4 części:
\(\displaystyle{ \left(0; \frac{\pi}{2} \right)}\) - sinus i cosinus dodatnie
\(\displaystyle{ \left(\frac{\pi}{2}; \pi \right)}\) - sinus dodatni, cosinus ujemny
\(\displaystyle{ \left(\pi; \frac{3\pi}{2} \right)}\) - sinus i cosinus ujemne
\(\displaystyle{ \left(\frac{3\pi}{2}; 2\pi \right)}\) - sinus ujemny, cosinus dodatni
A co do pierwszego, to wygląda wszystko dobrze. Ciężko się liczy takie całki, ale dasz sobie Radek rade -- 27 sty 2010, o 17:55 --EDIT: Ale ja jestem głupi, w cale nie liczy się ciężko tej pierwszej całki, bo jak sobie wyciągniesz:
\(\displaystyle{ r^2 \cdot \sqrt{1+4r^2}}\)
A następnie \(\displaystyle{ cos\alpha + sin\aplha}\) przed wewnętrzną całkę, to zobaczysz, że wyjdzie 0. Zostanie jedynie całka:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi} \left[ \int_{0}^{2} r^2 dr \right] d\aplha}\)
\(\displaystyle{ \iint_{D}|xy(x^{2}+y^{2})|\sqrt{1+4(x^{2}+y^{2})}dxdy}\)
I teraz jak przejdziesz na współrzędne biegunowe, to dostaniesz:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi} \left[ \int_{0}^{1} |rcos\alpha \cdot rsin\alpha \cdot r^2|\sqrt{1+4r^2} \cdot r dr \right] d\alpha = \int_{0}^{2\pi} \left[ \int_{0}^{1} r^5 \cdot \sqrt{1+4r^2} \cdot |cos\alpha \cdot sin\alpha|dr \right] d\alpha}\)
Problem będzie z tym modułem, więc trzeba będzie tę zewnętrzną całkę rozbić na 4 części:
\(\displaystyle{ \left(0; \frac{\pi}{2} \right)}\) - sinus i cosinus dodatnie
\(\displaystyle{ \left(\frac{\pi}{2}; \pi \right)}\) - sinus dodatni, cosinus ujemny
\(\displaystyle{ \left(\pi; \frac{3\pi}{2} \right)}\) - sinus i cosinus ujemne
\(\displaystyle{ \left(\frac{3\pi}{2}; 2\pi \right)}\) - sinus ujemny, cosinus dodatni
A co do pierwszego, to wygląda wszystko dobrze. Ciężko się liczy takie całki, ale dasz sobie Radek rade -- 27 sty 2010, o 17:55 --EDIT: Ale ja jestem głupi, w cale nie liczy się ciężko tej pierwszej całki, bo jak sobie wyciągniesz:
\(\displaystyle{ r^2 \cdot \sqrt{1+4r^2}}\)
A następnie \(\displaystyle{ cos\alpha + sin\aplha}\) przed wewnętrzną całkę, to zobaczysz, że wyjdzie 0. Zostanie jedynie całka:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi} \left[ \int_{0}^{2} r^2 dr \right] d\aplha}\)