Czy ktoś mógłby mi wytłumaczyć jak zrobić takie zadanie:
Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu \(\displaystyle{ P=(1,1,-4)}\) względem prostej
\(\displaystyle{ l:\left\{\begin{array}{l} x+y-z-2=0\\ x+2z+1=0 \end{array}}\)
Punkt symetryczny względem prostej
- johanneskate
- Użytkownik
- Posty: 488
- Rejestracja: 24 lut 2009, o 18:00
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 2 razy
Punkt symetryczny względem prostej
Oznaczymy szukany punkt przez Q. Wyznaczamy równanie parametryczne prostej:\(\displaystyle{ \begin{cases} x=-2t+1 \\ y=3t+1 \\ z=t \end{cases}}\)
Wektor (-2,3,1) jest równoległy do tej prostej a zarazem prostopadłym do płaszczyzny prostopadłej do prostej L. Czyli możemy wyznaczyć.
Wyznaczamy równanie takiej płaszczyzny przechodzącej przez punkt P :\(\displaystyle{ \Pi:-2(x-1)+3(y-1)+1(z+4)=0 \Leftrightarrow -2x+3y+z+1=0}\) Punkt wspólny S danej na początku rostej i płaszczyzny wyznaczymy wstawiając do równania płaszczyzny współrzędne prostej: \(\displaystyle{ -2(-2t+1)+3(3t+1)+t+1=0 \Leftrightarrow t= \frac{1}{7}}\)
i mamy punkt S(5/7,10/7,1,7), który jest środkiem odcinka PQ.
Bierzemy za współrzędne punktu Q (a,b,c) to obliczymy je w nastepujący sposób:\(\displaystyle{ \frac{a+1}{2}= \frac{5}{7} \ \frac{b+1}{2}= \frac{10}{7} \ \frac{c-4}{2}= \frac{1}{7}}\) co w rezultacie daje:
Q(3/7,13/7,30/7)
Wektor (-2,3,1) jest równoległy do tej prostej a zarazem prostopadłym do płaszczyzny prostopadłej do prostej L. Czyli możemy wyznaczyć.
Wyznaczamy równanie takiej płaszczyzny przechodzącej przez punkt P :\(\displaystyle{ \Pi:-2(x-1)+3(y-1)+1(z+4)=0 \Leftrightarrow -2x+3y+z+1=0}\) Punkt wspólny S danej na początku rostej i płaszczyzny wyznaczymy wstawiając do równania płaszczyzny współrzędne prostej: \(\displaystyle{ -2(-2t+1)+3(3t+1)+t+1=0 \Leftrightarrow t= \frac{1}{7}}\)
i mamy punkt S(5/7,10/7,1,7), który jest środkiem odcinka PQ.
Bierzemy za współrzędne punktu Q (a,b,c) to obliczymy je w nastepujący sposób:\(\displaystyle{ \frac{a+1}{2}= \frac{5}{7} \ \frac{b+1}{2}= \frac{10}{7} \ \frac{c-4}{2}= \frac{1}{7}}\) co w rezultacie daje:
Q(3/7,13/7,30/7)
Punkt symetryczny względem prostej
W powyższym rozwiązaniu jest błąd.
Powinno być:
\(\displaystyle{ \Pi:-2(x-1)+3(y-1)+1(z+4)=0 \Leftrightarrow -2x+3y+z+3=0}\)
Powinno być:
\(\displaystyle{ \Pi:-2(x-1)+3(y-1)+1(z+4)=0 \Leftrightarrow -2x+3y+z+3=0}\)
Punkt symetryczny względem prostej
Próbuję rozwiązać podobne zadanie, ale nie wiem w jaki sposób wyznaczamy to równanie parametryczne prostej?
-
- Użytkownik
- Posty: 22207
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3754 razy
Punkt symetryczny względem prostej
Rozwiązując ukłąd równań (rozwiązania układu zależą od parametru.edyta_94 pisze:Próbuję rozwiązać podobne zadanie, ale nie wiem w jaki sposób wyznaczamy to równanie parametryczne prostej?