Granica z liczbą e

[blanco18]

Witam, natrafiłem na problem z określeniem granicy w tym przykładzie:


\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0 ^{+} }xe^{ \frac{1}{x} }}\)

Gdy robimy to x dąży do 0, a nasze e do \(\displaystyle{ 1/x}\)dąży do plus nieskończoności, bo\(\displaystyle{ 1/x}\)dąży do 1/0 czyli \(\displaystyle{ + \infty}\) i mamy \(\displaystyle{ 0*+ \infty}\) czyli nic innego jak zero.

Wszystko pięknie ale wiem, że to jest źle:/

I zastanawia mnie fakt czemu jak x dąży lewostronnie do 0 to wynik kończy się 0*1 tzn:


\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0 ^{-} }xe^{ \frac{1}{x} }= 0*1 =0}\)

Okej x =0 i gdyby tam było e^x to było by e^0 czyli 1 ale tu jest 1/x iii powinna być analogiczna sytuacja jak wyżej.
Źle mówię?-- 26 sty 2010, o 01:12 --już pierwszą część wiem, postanowiłem sprawdzić wzór i pamiętałem odwrotnie, tzn \(\displaystyle{ 0 * \infty}\) to jest nieoznaczony a, \(\displaystyle{ a* \infty}\) to jest po prostu \(\displaystyle{ \infty}\);]

Wychodzi nieoznaczony ale robiąc to hopitalem, i tak wychodzi 0.

Pozostaje tylko kwestia czemu jak robimy to lewostronnie to możemy zapisać \(\displaystyle{ x* e ^{ \frac{1}{x} }}\) jako 0 * 1 ?

[BettyBoo]

i mamy \(\displaystyle{ 0*+ \infty}\) czyli nic innego jak zero.

Nie. Mamy nic innego jak symbol nieoznaczony. Granicę można obliczyć np z de l'Hospitala i jest ona równa \(\displaystyle{ \infty}\).

i powinna być analogiczna sytuacja jak wyżej.

Nie, ponieważ funkcja wykładnicza o podstawie \(\displaystyle{ e}\) inaczej zachowuje się w \(\displaystyle{ \infty}\) (wartości dążą do \(\displaystyle{ \infty)}\) a inaczej w \(\displaystyle{ -\infty}\) (wtedy dążą do 0).

Pozdrawiam.

[blanco18]

Dopisałem przed Twoim postem co nieco:)

Nie. Mamy nic innego jak symbol nieoznaczony. Granicę można obliczyć np z de l'Hospitala i jest ona równa\(\displaystyle{ \infty}\).

Patrz:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0 ^{+} }xe^{ \frac{1}{x} } = lim_{x\to 0 ^{+} } \frac{e^{ \frac{1}{x} }}{ \frac{1}{x} } =H= \lim_{x\to 0 ^{+} } \frac{ \frac{1}{ \frac{1}{x}}* \frac{1}{-x^{2} } }{ \frac{1}{-x^{2}} } = \lim_{x\to 0 ^{+} } \frac{1}{-x}* (-x^{2})=\lim_{x\to 0 ^{+} }x=0}\)

[BettyBoo]

Coool, a gdzie Ci wcięło \(\displaystyle{ e}\)....?

Patrz

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0 ^{+} }xe^{ \frac{1}{x} } = \lim_{x\to 0 ^{+} } \frac{e^{ \frac{1}{x} }}{ \frac{1}{x} }} \stackrel{H}=\lim_{x\to 0 ^{+} } \frac{ -\frac{1}{x^2} e^{ \frac{1}{x} }}{ -\frac{1}{x^2} } =\infty}\)


Co do drugiego pytania - to nie jest \(\displaystyle{ 1\cdot 0}\) tylko \(\displaystyle{ 0\cdot 0}\) (przeczytaj co napisałam post wyżej).

Pozdrawiam.

[blanco18]

Yyyy... no ten, pochodna logarytmu naturalnego pomyliła się z pochodną liczby eulera;P Więc jednak masz rację:(

Tak, rozpisałem sobie to wcześniej, i zauważyłem to już. \(\displaystyle{ 0*1}\) wzięło się z innego podobnego tematu na forum, później zdaje się poprawionego:)

Pozdrawiam:)