Odwrotność funkcji logarytmicznej

[gasnic]

Mam proźbę o sprawdzenie takiego zadanka:

\(\displaystyle{ f(x)^{-1} = 2 + log_{5}x}\)

Rozwiązanie:

\(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{2} + log_{x}5}\)

Proszę o sprawdzenie czy to jest dobrze.

[Shameyka]

chyba trzeba najpierw do wsp. mianownika

[tometomek91]

\(\displaystyle{ f(x) = 2 + log_{5}x=log_{5}25x \Rightarrow 5^{y}=25x \Rightarrow x=5^{y-2}}\)
Zamieniamy x i y:
\(\displaystyle{ f(x)^{-1}=5^{x-2}}\)

chyba trzeba najpierw do wsp. mianownika

Shameyka, co chcesz sprowadzać do wspólnego mianownika?

[gasnic]

Widzę że z logarytmami leże jak na razie;

Mógłbyś mi wyjaśnić krok po kroku to zadanie??

Byłbym wdzięczny.

[Shameyka]

\(\displaystyle{ f(x) = 2 + log_{5}x=log_{5}25x \Rightarrow 5^{y}=25x \Rightarrow x=5^{y-2}}\)
Zamieniamy x i y:
\(\displaystyle{ f(x)^{-1}=5^{x-2}}\)

ale przeciez tam na poczatku wlasnie to jest do -1 wiec chyba cos nie tak

[tometomek91]

No fakt, ale idea zadania jest identyczna;)

Funkcja f(x) jest odwrotna do funkcji g(x), wtedy gdy są symetryczne względem prostej o równaniu y=x.
1. Wyznaczamy "x". (my wyznaczyliśmy to z elementarnych działań na logarytmach: \(\displaystyle{ x=5^{y-2}}\)).
2. Zamieniamy miejscami x z y-kiem: \(\displaystyle{ y=5^{x-2}}\), otrzymując funkcję odwrotną.

[gasnic]

OK ALE skąd się wzięło \(\displaystyle{ 25x}\)??

Czy dla tego że \(\displaystyle{ 5^{2} = 25}\) ???

Czyli dodając stałą do logarytmu "wciągam" ją pod funkcje potęgując nią wykładnik logarytmu??

[tometomek91]

\(\displaystyle{ 2 + log_{5}x=log_{5}25+log_{5}x=log_{5}(25 \cdot x)}\)

[gasnic]

bo

\(\displaystyle{ log_{5}25 = 2}\)

już rozumiem dzięki;)

Tylko jeszcze jedno skąd to -2 przy y???

[tometomek91]

\(\displaystyle{ 5^{y}=25x \Rightarrow x=5^{y-2}}\)

\(\displaystyle{ 5^{y}=25x\\
x=\frac{5^{y}}{25}=\frac{5^{y}}{5^{2}}}\)
Przy dzieleniu wykładniki odejmujemy:
\(\displaystyle{ x=\frac{5^{y}}{5^{2}}=5^{y-2}}\)

[gasnic]

Już wszystko wiem.

Dziękuje za pomoc;)