Obliczyc granice ciagu

[Bucu]

Polecenie jak w tytule:
a)

\(\displaystyle{ a _{n}= \frac{n(n ^{2}+5) \sqrt[3]{n} }{n ^{2}+1) \sqrt{n ^{3} +5}(n+3) }}\)

b)

\(\displaystyle{ a _{n}= \sqrt{4n ^{2}+3n }-2n}\)

c)

\(\displaystyle{ a _{n}= ( \frac{1}{ n^{2}} + \frac{(-1) ^{n} }{n ^{3} }) ^{2}}\)

d)

\(\displaystyle{ a _{n}= \frac{7 ^{n} - 4 ^{2n} }{5 ^{n} }}\)

e)

\(\displaystyle{ a _{n}= \sqrt[3]{1+2 ^{n} }}\)

f)

\(\displaystyle{ a _{n}= \frac{2n-1}{3 ^{n}n }}\)

[BettyBoo]

a) podziel licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ n\cdot n^2\cdot \sqrt[3]{n}}\)

b) pomnóż i podziel przez sumę tych wyrażeń

c) tw o 3 ciągach

d) rozbij na daw ułamki

e) napisz wynik

f) podziel licznik i mianownik przez n

Pozdrawiam.

[Bucu]

nie chcialbym denerwowac ale czy moglbym prosic o wiecej szczegolow?

[BettyBoo]

nie chcialbym denerwowac ale czy moglbym prosic o wiecej szczegolow?

W którym zadaniu?

Zrób to, co sugeruję, pokaż obliczenia i powiedz, gdzie się zacinasz, to Ci pomogę dalej.

Pozdrawiam.

[Bucu]

to tak na szybko --> nie wiem np jaki wynik napisac w e).

To ma byc \(\displaystyle{ \infty}\)?

-- 25 stycznia 2010, 23:11 --

a) jedyne co zdolalem zrobic to napisac sobie ten ulamek z podzielonym licznikiem i mianownikiem przez \(\displaystyle{ n*n ^{2}* \sqrt[3]{n}}\). W tym miejscu sie zacinam bo nie wiem czy cokolwiek mozna skrocic czy nie?
c) nie mam pomyslu jakie beda ciagi skrajne
d) rozbilem na dwa ulamki i jestem w miejscu takim ze mam:
\(\displaystyle{ ( \frac{7}{5} )^{n} - ( \frac{16}{5} )^{n}}\)
f) czyli \(\displaystyle{ \frac{2- \frac{1}{n} }{3 ^{n} } \rightarrow \frac{2}{ \infty } \rightarrow 0}\)

[BettyBoo]

e) bingo
------------------------

a) celem całego tego zabiegu jest "pozbycie się" nieskończoności (czyli sposób postępowania analogiczny jak dla funkcji wymiernych)

można skrócić jak najbardziej, np w liczniku będzie:

\(\displaystyle{ \frac{n(n ^{2}+5) \sqrt[3]{n}}{n\cdot n^2\sqrt[3]{n}}=1+\frac{5}{n^2}}\)

Mianownik podobnie

c) a masz pomysł, jaka będzie granica? Podpowiem, że dla szacowania można wykorzystać fakt, że \(\displaystyle{ \frac{1}{n^2}\ge \frac{1}{n^3}}\)

d) a przepraszam, nie zauważyłam tej dwójki w potędze; w takim układzie rozbicie na ułamki nic Ci nie da (dałoby, gdyby po rozbiciu jedno z wyrażeń dążyło do zera);
w takim razie nie rozbijaj, tylko z licznika wyłącz wyrażenie z najwyższą podstawą (a więc \(\displaystyle{ 16^n}\))

f) i bardzo dobrze !

Pozdrawiam.

[Bucu]

a) ok licznik tez potrafilem skrocic, niestety nie potrafie nic zrobic z mianownikiem...

c) niestety nie mam pomyslu, jestem kiepski w twierdzeniu o 3 ciagach:(

d)noi mam teraz \(\displaystyle{ \frac{16 ^{n} ( \frac{7 ^{n} }{16 ^{n}} - 1) }{5 ^{n} }}\) i nie wiem co dalej....

[BettyBoo]

a) \(\displaystyle{ \frac{(n ^{2}+1) \sqrt{n ^{3} +5}(n+3)}{n ^{2} \sqrt{n ^{3}}n}=\left(1+\frac{1}{n^2}\right)\sqrt{1+\frac{5}{n^3}}\left(1+\frac{3}{n}\right)}\)

c) granicą będzie 0:

\(\displaystyle{ 0\le \left( \frac{1}{ n^{2}} + \frac{(-1) ^{n} }{n ^{3} }\right) ^{2}\le \left(\frac{2}{n^2}\right)^2}\)

d) \(\displaystyle{ \frac{16 ^{n} ( \frac{7 ^{n} }{16 ^{n}} - 1) }{5 ^{n} }=\left(\frac{16}{5}\right)^n\left( \left(\frac{7 }{16}\right)^n - 1\right)}\)

Pozdrawiam.

[Bucu]

dzieki serdeczne. co prawda metody na te 3 ciagi chyba nigdy nie zrozumiem. To jest czyste wymyslanie czy jest jakis skrot myslowy pozwalajacy szybko zobaczyc ze trzeba skorzystac z tw o 3 ciagach i w dodatku szybko zobaczyc jakie beda te ciagi skrajne i do jakiej granicy beda zbiegac?

I jeszcze jedna prosba o przysluge w pomocy z takim chyba prostym ale nie wiem
\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{n} +1 }}\) no to ja pomnozylem licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ \sqrt{n} - 1}\) i co teraz trzeba?

[BettyBoo]

Co do tw o 3 ciągach - jeśli nie masz innego pomysłu to możesz tak spróbować Tutaj ciężko o jakieś ogólne reguły, bo to można do różnych przykładów stosować. Trzeba pilnować, żeby nierówności były prawdziwe.

W miarę standardowa metoda poszukiwania ograniczenia z lewej strony to pomijanie wyrażeń dodatnich oraz "pomniejszanie" wyrażeń występujących (czyli zastępowanie ich przez najmniejsze występujące we wzorze wyrażenie), natomiast ograniczenia górnego poszukuje się standardowo pomijając wyrażenia ujemne oraz powiększając występujące wyrażenia (czyli zastępując je przez największe występujące wyrażenie). Trzeba też uważać, żeby sobie za dużo nie pominąć albo za dużo nie dodać, ponieważ granice obu znalezionych ciągów muszą być takie same.

Co do zadania, nie trzeba nic mnożyć, mianownik dąży do nieskończoności, licznik do liczby, więc ułamek do zera.

Pozdrawiam.