Znajdz element pierwotny rozszerzenia \(\displaystyle{ Q \subset Q\left(\sqrt[3]{2}, i\right)}\).
Rozwiazanie:
\(\displaystyle{ f_{1}\left(x\right) = x^3 - 2}\) i \(\displaystyle{ f_{2}\left(x\right) = x^2 + 1}\) to wielomiany minimalne liczb \(\displaystyle{ a_{1} = \sqrt[3]{2}}\) i \(\displaystyle{ b_{1} = i}\) odpowiednio. Pierwiastkami \(\displaystyle{ f_{1}\left(x\right)}\) sa \(\displaystyle{ a_{1} = \sqrt[3]{2}}\), \(\displaystyle{ a_{2} = \epsilon\sqrt[3]{2}}\),
(I pytanie) \(\displaystyle{ a_{3} = \epsilon^2\sqrt[3]{2}}\),
\(\displaystyle{ \epsilon = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i}\), pierwiastkami \(\displaystyle{ f_{2}\left(x\right)}\) sa \(\displaystyle{ b_{1} = i}\), \(\displaystyle{ b_{2} = -i}\).
Rozpatrzmy liczby:
(II pytanie) \(\displaystyle{ \frac{a_{i} - a_{1}}{b_{1} - b_{j}}}\),
i = 1, 2, 3; j = 2.
Oczywiscie liczba \(\displaystyle{ l = 1 \in Q}\) nie jest rowna zadnej z powyzszych liczb. Zalozmy, ze \(\displaystyle{ c = a_{1} + l b_{1} = \sqrt[3]{2} + i}\).
(...)
I pytanie: Czemu takiej postaci jest ten pierwiastek? Jak sie policzy czy ze wzoru de Moivre'a czy po prostu z delty, to ten pierwiastek nie wychodzi tej postaci. Zatem jak uzasadnic poprawnosc zapisu tego pierwiastka?
II pytanie: Po co to nam w tym zadaniu? I co by bylo jakby to jednak wynosilo 1? Skad to l = 1?
Bardzo prosze o pomoc, reszte rozwiazania rozumiem. Dziekuje bardzo za pomoc!