Rekurencyjny ciąg i granica.

[Elo-Rap]

Mam udowodnić że ciąg jest zbieżny :
\(\displaystyle{ a_{1} = \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ a_{n+1} = a_{n}^{2} + 3a_{n} + 4}\)

Udowodniłem że jest niemalejący. Teraz pokażcie mi dlaczego ten ciąg ma granicę = 2 i jest ograniczony przez 2. Mi tutaj ewidentnie wychodzi że ciąg jest rozbieżny :/

Pozdrawiam Maciek.

[Dumel]

jaka granica, jaka ograniczoność?
przecież nawet takie beznadziejnie słabe oszacowanie:
\(\displaystyle{ a_{n+1}>a_n+4}\)
juz nam daje rozbiezność

[fttrobin]

Jest ograniczony tylko zdaje się, że kolega źle przepisał. Jest to zadanie z egzaminu z poprzedniego roku Informatyki - Analiza Matematyczna I. Wersja poprawna i zgoda z pytaniem wygląda tak:
\(\displaystyle{ a_{1} = \sqrt{2}}\) \(\displaystyle{ a_{n+1}=a_{n}^{2}-3a_{n}+4}\)
Przepisując dalej odpowiedź mamy:
Z warunku \(\displaystyle{ a_{n+1} \geq a_{n}}\) mamy:
\(\displaystyle{ a_{n}^{2}-3a_{n}+4 - a_{n} \geq 0}\) i dalej \(\displaystyle{ (a_{n}-2)^{2} \geq 0}\)
Zatem ciąg jest na pewno niemalejący poniważ powyższe zawsze zachodzi.
Teraz wystarczy załozyć, że granica istnieje i jest równa g. Stąd:
\(\displaystyle{ g = \lim_{n\to\infty} a_{n+1} = \lim_{n\to\infty} (a_{n}^{2}-3a_{n}+4) = g^{2} - 3g + 4}\). Czyli:
\(\displaystyle{ g = g^{2} - 3g + 4}\) i dalej \(\displaystyle{ (g-2)^{2} = 0}\)
Więc granicą ciagu jest 2. Teraz wystarczy sprawdzić czy jest tak rzeczywiście badając czy 2 jest ograniczeniem górnym tego ciągu. Reszta z twierdzenia o ciagu monotonicznym i ograniczonym.

Pozdrawiam

PS. Zadany przez Ciebie ciąg jest rozbieżny bo łatwo widać, że wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie i ponadto
\(\displaystyle{ g = \lim_{n\to\infty} a_{n+1} = \lim_{n\to\infty} (a_{n}^{2}+3a_{n}+4) = g^{2} + 3g + 4}\)
\(\displaystyle{ g = g^{2} + 3g + 4}\)

[Piotr Rutkowski]

Mhm, łatwo się chyba domyśleć, że autorowi chodziło o \(\displaystyle{ a_{n+1}=a_{n}^{2}-3a_{n}+4}\)

Załóżmy, że dobrze przeprowadziłeś dowód na monotoniczność (pokaż, to sprawdzimy).
Teraz wykażemy, że jest ograniczony przez 2:
Zauważmy, że \(\displaystyle{ a_{2}>\frac{3}{2}}\)
Założenie indukcyjne \(\displaystyle{ \frac{3}{2}<a_{n}<2}\)
Wtedy \(\displaystyle{ a_{n+1}=4+a_{n}^{2}-3a_{n}<4+2^{2}-3\cdot 2=2}\), bo funkcja \(\displaystyle{ f(x)=x^{2}-3x}\) na przedziale \(\displaystyle{ (\frac{3}{2},2)}\) jest rosnąca (dowód oczywisty).
Skoro jest rosnący i ograniczony z góry, to ma granicę \(\displaystyle{ g}\)
Korzystając z tego, że \(\displaystyle{ g>0}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}a_{n}=\lim_{n\to \infty}a_{n+1}}\) mamy \(\displaystyle{ (g^{2}-4x+4=0)\iff ((g-2)^{2}=0)\iff (g=2)}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{Q.E.D.}}\)
Pozdrawiam

p.s. Sorki za spóźnienie, ale widzę, że kolega pominął najważniejszą część rozwiązania, więc zostawiam post tak jak jest.

[Elo-Rap]

Po pierwsze racja źle przepisałem Dzięki Gracjan ^^

Po drugie już widzę błąd w swoim rozumowaniu. Dziękuje za odpowiedzi.

Pozdrawiam Maciek.