Przeliczalność klas abstrakcji

[kamillys]

mamy relacje \(\displaystyle{ \sim}\) że \(\displaystyle{ x \sim y \Leftrightarrow x ^2 - y^2 \in \mathbb{Q}}\). Ta relacja jest r. równoważności(dowód pomijam, bo nie o to chodzi). Teraz pytanie: Czy klasa abstrakcji \(\displaystyle{ [\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}] _{\sim}}\) w tej relacji jest przeliczalny?

Tak poagitować na razie:(tok myślenia inaczej)
zbiór RQ=X(tak dla ułatwienia zapisu) przeliczalny nie jest. Ale istnieją takie liczby z tego zbioru, że \(\displaystyle{ x^2 \in \mathbb{Q}}\), np. pierwiastek z 5. Wydaje mi się, że jest przeliczalny, ale tutaj problem: nie wiem jak to zapisać, ani dokładniej udowodnić.

[klaustrofob]

jeżeli dobrze widzę, to klasy abstrakcji są przeliczalne (tj. dla każdego x zbiór tych y, które są z nim w relacji jest zbiorem przeliczalnym). stąd prosty wniosek.

[kamillys]

Powiem tak: widać, to i ja zauważyłem, ale nie o to chodzi, bo nie mogę napisać "dowód widać", bo nie o to chodzi jednak . Zbiór klas abstrakcji dla RQ jest przeliczalny, bo nie ma w nim przedziałów dla pojedynczego elementu, a jest nieskończony -> jest co najmniej przeliczalny. Jak to zapisać w języku matematyków, tak by nikt nie miał cienia wątpliwości?

[klaustrofob]

to:
a) uzasadnij, że klasy abstrakcji są przeliczalne
b) przez sprzeczność - gdyby zbiór klas był przeliczalny, to moc R byłaby przeliczalna, jako przeliczalna suma zbiorów rozłącznych.

[Jan Kraszewski]

Zbiór klas abstrakcji dla RQ jest przeliczalny, bo nie ma w nim przedziałów dla pojedynczego elementu,

Nie bardzo widzę, dlaczego to ma być argument za przeliczalnością.

JK