transformata laplace'a - rownanie rozniczkowe

[konradr]

Szukam pomocy z rozwiązaniem rownań transformatą laplace'a takich przykładów:

\(\displaystyle{ y^{(4)} + y^{(3)} = cos*t}\)
\(\displaystyle{ y^{(4)}}\) - pochodna 4-rzedu
\(\displaystyle{ y^{(3)}}\) - pochodna 3-rzedu
przy: y(0) = y'(0) = y''(0) = \(\displaystyle{ y^{(3)}}\)(0) = 0


\(\displaystyle{ 2y' + y = t^{2} + 2}\)
przy: y(0)=4

Z góry wielkie dzięki za każdą pomoc.
pozdrawiam

[BettyBoo]

No a problem polega na...? Tablicę transformat masz? To z niej skorzystaj na początek, a potem rozwiąż otrzymane równanie.

Podaj obliczenia, to Ci pomogę z szukaniem oryginału.

Pozdrawiam.

[skupiony]

Szukam pomocy z rozwiązaniem rownań transformatą laplace'a takich przykładów:

\(\displaystyle{ y^{(4)} + y^{(3)} = cos*t}\)
\(\displaystyle{ y^{(4)}}\) - pochodna 4-rzedu
\(\displaystyle{ y^{(3)}}\) - pochodna 3-rzedu
przy: y(0) = y'(0) = y''(0) = \(\displaystyle{ y^{(3)}}\)(0) = 0


\(\displaystyle{ 2y' + y = t^{2} + 2}\)
przy: y(0)=4

Z góry wielkie dzięki za każdą pomoc.
pozdrawiam

Po pierwsze: transformaty pochodnych:
\(\displaystyle{ L \left[ f' \right] =sF(s)-f(0^{+})}\)
\(\displaystyle{ L \left[ f'' \right] =s^{2}F(s)-sf(0^{+})-f'(0^{+})}\)
\(\displaystyle{ L \left[ f^{(3)} \right] =s^{3}F(s)-s^{2}f(0^{+})-sf'(0^{+}) -f''(0^{+})}\)
\(\displaystyle{ L \left[ f^{(4)} \right] =s^{4}F(s)-s^{3}f(0^{+})-s^{2}f'(0^{+}) -sf''(0^{+})-f^{(3)}(0^{+})}\)
I funkcji:
\(\displaystyle{ L \left[ \cos t \right] = \frac{s}{s^{2}+1^{2}}}\)
\(\displaystyle{ L \left[ t^{2} + 2 \right] = \frac{2}{s^{3}}+ \frac{2}{s}}\)

Zad1.
\(\displaystyle{ y^{(4)}+y^{(3)}= \cos t}\)
\(\displaystyle{ s^{4}Y(s)+s^{3}Y(s)= \frac{s}{s^{2}+1^{2}}}\)
\(\displaystyle{ (s^{4}+s^{3})Y(s)= \frac{s}{s^{2}+1}}\)
\(\displaystyle{ Y(s)= \frac{s}{(s^{2}+1)(s^{4}+s^{3})}= \frac{s}{s^{3}(s^{2}+1)(s+1)}= \frac{1}{s^{2}(s-i)(s+i)(s+1)}}\)
teraz trzeba policzyć transformatę odwrotną metodą residuów, bo występuje pierwiastek dwukrotny.

Zad2.
\(\displaystyle{ 2y' + y = t^{2} + 2}\)
\(\displaystyle{ 2sY(s)-2y(0^{+})+Y(s)=\frac{2}{s^{3}}+ \frac{2}{s}}\)
\(\displaystyle{ (2s+1)Y(s)-8=\frac{2}{s^{3}}+ \frac{2}{s}}\)
\(\displaystyle{ (2s+1)Y(s)=\frac{2}{s^{3}}+ \frac{2}{s}+8}\) trzeba doprowadzić do postaci \(\displaystyle{ Y(s)= \frac{L(s)}{M(s)}}\) i dokonać transformacji odwrotnej.

[BettyBoo]

A co właściwie znaczy \(\displaystyle{ cos*t}\)??

Metodą residuów można liczyć zawsze, o ile otrzymujesz funkcję wymierną - jeśli ją znasz, to w tym przykładzie będzie super. Trzeba tylko wstawić do wzorów. Znasz wzory?
Można też zrobić rozkład na ułamki proste.

W drugim przykładzie robisz wspólny mianownik po prawej stronie, potem dzielisz równanie przez \(\displaystyle{ (2s+1)}\) i też albo metoda residuów albo rozkład na ułamki proste.

Pozdrawiam.

[konradr]

Dziękuje za pomoc. Mam jeszcze problem z poniższym:

\(\displaystyle{ (2s+1)Y(s)=\frac{2}{s^{3}}+ \frac{2}{s}+8}\)

\(\displaystyle{ Y(s)=\frac{8s^{3} + 2s^{2} + 2}{s^{3}(2s+1)}}\)

\(\displaystyle{ \frac{As^{2} + Bs + C}{s^{3}} + \frac{D}{2s+1} = 8s^{3} + 2s^{2} + 2}\)
Czy ten rozkład na ułamki proste jest poprawny?

prosiłbym jeszcze o rozkład na ułamki proste poniższego (nie wiem co zrobić z \(\displaystyle{ i}\) )
\(\displaystyle{ Y(s)= \frac{1}{s^{2}(s-i)(s+i)(s+1)}}\)

Dzięki!

[BettyBoo]

Właściwie jest poprawny (z dokładnością do zapisu), chociaż tak naprawdę Tobie jest potrzebna postać, z której możesz od razu znaleźć oryginał (bo w końcu po to się to robi), czyli

\(\displaystyle{ \frac{A}{s}+\frac{B}{s^2} +\frac{ C}{s^{3}} + \frac{D}{s+\frac{1}{2}} = \frac{4s^{3} + s^{2} + 1}{s^3(s+\frac{1}{2})}}\)



W drugim zadaniu postać, którą podałeś jest dobra do metody residuów, dla rozkładu powinno to wyglądać tak (rozkład się robi w \(\displaystyle{ R}\), nie w \(\displaystyle{ C}\) i najlepiej go dostosować od razu do tablicy transformat):

\(\displaystyle{ \frac{1}{s^{2}(s^2+1)(s+1)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s^2}+\frac{Cs}{s^2+1}+\frac{D}{s^2+1}+\frac{E}{s+1}}\)

Pozdrawiam.

[konradr]

W drugim zadaniu postać, którą podałeś jest dobra do metody residuów, dla rozkładu powinno to wyglądać tak (rozkład się robi w \(\displaystyle{ R}\), nie w \(\displaystyle{ C}\) i najlepiej go dostosować od razu do tablicy transformat):

\(\displaystyle{ \frac{1}{s^{2}(s^2+1)(s+1)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s^2}+\frac{Cs}{s^2+1}+\frac{D}{s^2+1}+\frac{E}{s+1}}\)

Jeszcze ostatnie pytanie. Skąd się wziął ułamek \(\displaystyle{ \frac{D}{s^2+1}}\)
dwa pierwsze odpowiadają \(\displaystyle{ {s^2}}\) następny \(\displaystyle{ {s^2}+1}\) ostatni \(\displaystyle{ s+1}\)
Nie jest przypadkiem za dużo o ten ułamek z D w liczniku?

[BettyBoo]

Dokładniej, w rozkładzie na ułamki proste czynnikowi \(\displaystyle{ s^2+1}\) w mianowniku odpowiada ułamek prosty \(\displaystyle{ \frac{Cs+D}{s^2+1}}\), natomiast na potrzeby obliczenia oryginału wypada ten ułamek rozbić na dwa, dlatego od razu go zapisałam tak, jak trzeba.

Pozdrawiam.

[konradr]

ok juz wiem wszystko.
Dziękuje za cierpliwość
Pozdrawiam