Całka funkcji zmiennej zespolonej

[Bianconero]

Mam za zadanie obliczyć całkę \(\displaystyle{ \oint_{C}^{} \frac{dz}{z^2+1}}\) po obszarze C: \(\displaystyle{ 4x^2+y^2-4=0}\).

Obszar jest elipsą o półosiach a=1, b=2.
Zaczynam od rozpisania mianownika na postać iloczynową:

\(\displaystyle{ \oint_{C}^{} \frac{dz}{(z+i)(z-i)}}\)

Miejsca zerowe mianownika to i oraz -i, zatem oba należą do określonego wyżej obszaru. Do tej pory te miejsca zerowe, które nie zawierały się w obszarze, wrzucałem do licznika i korzystałem ze wzoru całkowego Cauchy'ego, teraz jednak nie wiem, co zrobić. Proszę o poradę, jak to rozwiązać.

[przem_as]

Zauważ, że istnieją rozłączne okręgi \(\displaystyle{ C_1=B_1(i,r_1)}\) i \(\displaystyle{ C_2=B_2(-i,r_2)}\) zawarte w \(\displaystyle{ C}\) i nie przecinające jej dla pewnych \(\displaystyle{ r_1}\) i \(\displaystyle{ r_2}\).
Wtedy ougólnione twierdzenie całkowe Cauchy'ego mówi, że \(\displaystyle{ \int_C f(z)dz=\int_{C_1}f(z)dz+\int_{C_2}f(z)dz}\). Wtedy w obszarze \(\displaystyle{ C_1}\) nie ma osobliwości w pkt \(\displaystyle{ -i}\).

[Bianconero]

Czyli mam to po prostu policzyć jako sumę dwóch całek?

\(\displaystyle{ C_1=B_1(i,r_1)}\)
\(\displaystyle{ C_2=B_2(-i,r_2)}\)

\(\displaystyle{ \oint_{C}^{} \frac{dz}{z^2+1}=\oint_{C_{1}}^{} \frac{\frac{1}{z+i}dz}{z-i}+\oint_{C_{2}}^{} \frac{\frac{1}{z-i}dz}{z+i}}\)

[przem_as]

Tak