Suma nie mniejsza niż n przy iloczynie równym 1

[edopiito-1]

Witam, mam problem z rozwiązaniem następującego zadania:

Udowodnij, że jeśli iloczyn n liczb dodatnich (\(\displaystyle{ n \ge 2}\)) jest równy 1, to ich suma jest nie mniejsza niż n.

Bardzo proszę o pomoc. Pierwszy krok indukcyjny to nie problem, wynika wprost z tożsamości \(\displaystyle{ \left( \alpha - 1 \right) ^{2} \ge 0}\).

Dalej mam drugi krok:
Zał.: \(\displaystyle{ x _{1} + x _{2} + ... + x _{m} \ge m}\), \(\displaystyle{ x _{1} \cdot x _{2} \cdot ... \cdot x _{m} = 1}\)
Teza: \(\displaystyle{ x _{1} + x _{2} + ... + x _{m} + x _{m+1} \ge m+1}\), \(\displaystyle{ x _{1} \cdot x _{2} \cdot ... \cdot x _{m} \cdot x _{m+1}= 1}\)

Czy to jest dobrze zapisane? Czy coś pokręciłem? Jeśli jest OK (\(\displaystyle{ x _{m+1} =1}\)), bardzo proszę o potwierdzenie, jeżeli nie, proszę o poprawienie i pomoc.

[gendion]

\(\displaystyle{ x_1 x_2 x_3...x_n=1 \Rightarrow x_1+x_2+...+x_n \ge n}\)
\(\displaystyle{ x_1+x_2+...+x_n \ge n \Leftrightarrow \frac{x_1+x_2+...+x_n}{n} \ge 1}\)
\(\displaystyle{ \frac{x_1+x_2+...+x_n}{n} \ge AM \ge GM \ge \sqrt{x_1 x_2 x_3...x_n}=1}\)
c.k.d.

P.S. \(\displaystyle{ \left( \alpha-1 \right)^2 \ge 0}\) to raczej nie jest tożsamość.-- 9 paź 2009, o 17:11 --dopiero teraz zauważyłem, że to jest w dziale z indukcją.
Tamten dowód by przeszedł, bo AM>= GM między innymi dowodzi się indukcją, ale tu jest czysto Indukcyjne rozw.:

\(\displaystyle{ \left( x_1+x_2+...+x_n \ge n \wedge x_1x_2 \cdot ... \cdot x_n \right) \Rightarrow \left( x_1+x_2+...+x_n +x_{n+1} \ge n +1 \wedge x_1x_2 \cdot ... \cdot x_n \cdot x_{n+1} =1 \right)}\)

\(\displaystyle{ x_1+x_2 +...+x_n+x_{n+1} \ge zal \ge n+x_{n+1} =n+ \frac{1}{x_1x_2 \cdot ... \cdot x_n} =n+1}\)
bo \(\displaystyle{ x_1x_2 \cdot ... \cdot x_n \cdot x_{n+1} =1 \Leftrightarrow x_{n+1}= \frac{1}{x_1x_2 \cdot ... \cdot x_n}}\)

[Qń]

Tamten dowód by przeszedł, bo AM>= GM między innymi dowodzi się indukcją

Raczej by nie przeszedł, bo to czego dowodzimy, to tzw. lemat Erdősa - a tego lematu używa się właśnie do eleganckiego dowodu prawdziwości nierówności AM-GM.

A Twój dowód indukcyjny jest niepoprawny...

\(\displaystyle{ x_1+x_2 +...+x_n+x_{n+1} \ge zal \ge n+x_{n+1}}\)

...bo to wcale nie wynika z założenia.

Poprawnie jest na przykład tak:
Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla \(\displaystyle{ n}\) i wykażmy jego prawdziwość dla \(\displaystyle{ n+1}\), tzn:
\(\displaystyle{ x _{1} \cdot x _{2} \cdot ... \cdot x _{n} \cdot x _{n+1}= 1\Rightarrow x _{1} + x _{2} + ... + x _{n} + x _{n+1} \ge n+1}\)

Skoro iloczyn tych liczb jest równy jeden, to musi być wśród nich co najmniej jedna nie większa od jedynki i co najmniej jedna nie mniejsza od jedynki. Bez utraty ogólności można założyć, że:
\(\displaystyle{ x_n \leq 1 \\
x_{n+1} \geq 1}\)
W takim razie
\(\displaystyle{ (1-x_n)(x_{n+1}-1) \geq 0}\)
czyli
\(\displaystyle{ x_nx_{n+1} \leq x_n+x_{n+1}-1}\) (*)

Rozważmy teraz \(\displaystyle{ n}\) liczb: \(\displaystyle{ x_1, x_2, \dots , x_{n-1}, x_n\cdot x_{n+1}}\). Jak wiemy z założenia ich iloczyn jest równy jeden, zatem z założenia indukcyjnego ich suma jest większa bądź równa \(\displaystyle{ n}\):
\(\displaystyle{ x_1+ x_2+ \dots + x_{n-1}+ x_nx_{n+1}\geq n}\)
Ale z (*) mamy:
\(\displaystyle{ n \leq x_1+ x_2+ \dots + x_{n-1}+ x_nx_{n+1}\leq x_1+ x_2+ \dots + x_{n-1}+ x_n +x_{n+1} -1}\)
skąd
\(\displaystyle{ n+1 \leq \leq x_1+ x_2+ \dots + x_{n-1}+ x_n +x_{n+1}}\)
czego należało dowieść.

Q.

[Zordon]

\(\displaystyle{ \frac{x_1+x_2+...+x_n}{n} \ge AM \ge GM \ge \sqrt{x_1 x_2 x_3...x_n}=1}\)

powinno być \(\displaystyle{ \sqrt[n]{x_1 x_2 x_3...x_n}}\)

[gendion]

tak, ten pierwiastek n-tego stopnia to przeoczenie.


Qń, no dobrze, ale bez tego lematu Erdősa też można udowodnić prawdziwość AM>=GM.

[Qń]

Qń, no dobrze, ale bez tego lematu Erdősa też można udowodnić prawdziwość AM>=GM.

Owszem, można, ale skoro lemat Erdősa służy głównie do udowodnienia nierówności AM-GM, to elegancko jest nie używać tejże przy dowodzie lematu. Bo nie jest sztuką wykazać, że jeśli trudniejszy fakt jest prawdziwy, to łatwiejszy też. Sztuką jest wykazać, że jeśli łatwiejszy fakt (lemat) jest prawdziwy to trudniejszy (AM-GM) też - a na tym właśnie polegał pomysł Erdősa.

Q.

[Wendigo]

w KMDO p. Pawłowski podaje ten lemat trochę inaczej:

Dla każdej liczby naturalnej n oraz dla dowolnych n liczb nieujemnych \(\displaystyle{ x_1,x_2,...,x_n}\), takich że: \(\displaystyle{ x_1+x_2+...+x_n=n}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ x_1x_2...x_3 \le 1}\) (1)

Dowód indukcyjny względem n.
sprawdzenie.
założenie: dla pewnego \(\displaystyle{ n \ge 2}\) oraz dla dowolnych n liczb nieujemnych o sumie równej n zachodzi nierówność (1).
Rozważamy n+1 takich liczb nieujemnych \(\displaystyle{ x_1,x_2,...,x_n,x_{n+1}}\), że:
\(\displaystyle{ x_1+x_2+...+x_n+x_{n+1}=n+1}\)
wśród tych liczb jest taka, która jest nie większa od 1 i taka, która jest nie mniejsza.

Pytanie 1.
co najmniej jedna jest nie większa od 1, bo w gdyby wszystkie były nie większe od 1 nie otrzymalibyśmy n+1 (co najwyżej n)?
Analogicznie: co najmniej jedna jest nie mniejsza od 1 bo gdyby wszystkie były \(\displaystyle{ \ge 1}\) to ich suma byłaby większa od n+1?? i z tego mamy, że co najmniej jedna z tych liczb jest nie większa od 1 i co najmniej jedna nie mniejsza od 1?
Dobrze rozumuję? bo co prawda jest wyjaśnione w książce, ale nie jestem pewien czy dobrze rozumuję.


Dalszą część dowodu raczej rozumiem.

Z góry dziękuję za odpowiedź.

[pawelsuz]

Gdyby \(\displaystyle{ x_{i}<1}\) dla \(\displaystyle{ i=1,2,3,...,n}\), to wtedy
\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+...+x_{n}< \underbrace{1+1+...+1}_{n}=n}\).
W drugą stronę analogicznie.