rownanie rozniczkowe

[szakiq]

\(\displaystyle{ x *y' -2y =x^{3} cosx}\)

\(\displaystyle{ y' - \frac{2y}{x} = x^{2} cosx}\)

\(\displaystyle{ \int \frac{dy}{y} = 2\int \frac{dx}{x}}\)

\(\displaystyle{ lny = 2lnx +c}\)
\(\displaystyle{ y = x^{2} *c}\)

i nie wiem czy potem robie dobrze:

chce do tego rowniania
\(\displaystyle{ y' - \frac{2y}{x} = x^{2} cosx}\)
zaczac podstawiac

wiec robie
\(\displaystyle{ x^{2} *c' + 2xc - \frac{2*x^{2}c}{x}= x^{2} cosx}\)

i mam pytanie - to jest rownanie beronulliego?

koncowy wynik powinien byc

\(\displaystyle{ y = (xsinx -sinx +c(u)) * x^{2}}\) ?????????

[BettyBoo]

Dobrze robisz. Teraz wyznacz z tego \(\displaystyle{ c}\).

To jest bardzo zdegenerowany przykład równania Bernoulliego - dokładniej, jest to równanie liniowe (klasyczne równanie Bernoulliego masz wtedy, gdy \(\displaystyle{ y}\) występuje w potędze 1 i jeszcze jakiejś innej).

Pozdrawiam.

[szakiq]

ponawiam pytanie czy wynik ktory podalem wyzej jest dobry bo cos mi sie chyba nie zgadza

[BettyBoo]

Nie, wynik jest niepoprawny. Z równania, które zapisałeś masz (składniki zawierające \(\displaystyle{ c}\) się odejmują)

\(\displaystyle{ x^2c'=x^2cosx\ \Rightarrow \ c'=cosx\ \Rightarrow \ c=\int cosxdx=sinx+a}\)

więc rozwiązanie ma postać

\(\displaystyle{ y=cx^2=(sinx+a)x^2}\)

Pozdrawiam.