całka potrójna

[azedor]

Chcialbym aby ktos zweryfikowal poprawnosc mojego rozwiazania.

Nalezy policzyc calke:


\(\displaystyle{ \iiint_{V}(x^2+y^2)dxdydz}\), gdzie \(\displaystyle{ V}\) jest ograniczony powierzchniami: \(\displaystyle{ x^2+y^2=2x}\) i \(\displaystyle{ z = 2}\).

Rowzwiazanie:

Przechodze na wspolrzedne sferyczne:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x=r\sin\beta\cos\alpha \\ y=r\sin\beta\sin\alpha \\ z = r\cos\beta \end{array}}\)


\(\displaystyle{ r\in(0,+\infty),\alpha\in(0,2\pi),\beta\in(0,\frac{\pi}{2})}\)

Jakobian tej zamiany wynosi \(\displaystyle{ r^2\sin\beta}\).

Funkcja przyjmuje postać:

\(\displaystyle{ x^2+y^2 = r^2\sin^2\beta}\), pomnozone przez Jakobian: \(\displaystyle{ r^4\sin^4\beta=f(r,\alpha,\beta)}\)

Powierzchnie przyjmuja postac:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} r^2\sin^2\beta = 2r\cos\beta \\ r\cos\beta=2 \end{array}}\)

z tego dostane
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} r= \frac{2\cos\beta}{\sin^2\beta}=d1 \\ r=\frac{2}{\cos\beta}=d2 \end{array}}\)


Ostatecznie mam:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi}d\alpha\lbrace\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}d\beta\int_{d1}^{d2}f(r,\alpha,\beta)dr +
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}d\beta\int_{d2}^{d1}f(r,\alpha,\beta)dr \rbrace}\)

co sie da latwo porachowac.

[makan]

Przy przepisywaniu popełniłeś gdzieś błąd, bo z podstawienia, które robisz wynika, że te ograniczające powierzchnie to \(\displaystyle{ x^2+y^2=2z}\) i \(\displaystyle{ z=2}\). W tym przypadku, wydaje mi się, że prościej będzie przejść na współrzędne cylindryczne, wtedy dostaniesz całkę:

\(\displaystyle{ \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^2 dr \int_{\frac{r^2}{2}}^2 r^3 dz}\)

[azedor]

Tak tam powinno być \(\displaystyle{ z}\) zamiast \(\displaystyle{ x}\). Dzieki za wyjasnienie, faktycznie cylidnryczne sa tu duzo prostsze. A gdybym liczyl na wspolrzednych sferycznych to jest to poprawnie zrobione ?