sinus hiperboliczny

[johanneskate]

\(\displaystyle{ \int_{}^{} shy ^{2} dy}\)

[pingu]

skorzystaj z:

\(\displaystyle{ ch2x=1+2 sh^{2} x}\)

[johanneskate]

i co z tym dalej...?

[fttrobin]

Wystraczy rozpisać z definicji:

\(\displaystyle{ sinhx=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}}\)
czyli \(\displaystyle{ sinh(x^{2}) = \frac{e^{x^{2}} - e^{-x^{2}}}{2}}\)
skąd widać, że jest to całka nieelementarna.
Poszukaj pod hasłem funkcja błędu.

Pozdrawiam

[pingu]

nie dojrzałem, że argument jest w kwadracie, więc "fttrobin" ma rację.

[johanneskate]

popełniłem błąd.. Cała funkcja jest podniesiona do kwadratu... Mam więc coś takiego: \(\displaystyle{ \frac{1}{4} \cdot \frac{e ^{2y}-e ^{-2y} }{2} - \frac{1}{2}x + c}\). Jeśli podstawię wyrażenie z e za sh2y, to otrzymam 2shychy, za chy wstawiam x, a za shy? z jedynki hiperbolicznej?

[fttrobin]

To ja przy okazji zapytam czy rozwiązanie jak poniżej jest poprawne:
\(\displaystyle{ \int (sinhx)^{2} dx = \int(x)'(sinhx)^{2} dx = xsinh^{2}x - \int xsinh(2x) dx = xsinh^{2}x - \frac{1}{2}\int tsinht dt = ...}\)
\(\displaystyle{ \int tsinht dt = tcosht - \int sinht dt = tcosht - cosht}\)
\(\displaystyle{ \int (sinhx)^{2} dx = xsinh^{2}x - \frac{1}{2}cosh(2x)(2x - 1)}\)

Dla autora tematu:
Podstawiamy:
\(\displaystyle{ A = \int (sinhx)^{2} dx}\)
\(\displaystyle{ B = \int (coshx)^{2} dx}\)
stąd
\(\displaystyle{ B - A = \int 1 dx = x + c}\)
\(\displaystyle{ B+ A = \int cosh(2x) dx = \frac{1}{2}sinh(2x) + c}\)