Kryterium ilorazowe

[SZEKEL]

Witam. Miałem dziś na kolokwium za zadanie sprawdzić zbieżność szeregu za pomocą kryterium ilorazowego. Czy mógłby mi ktoś powiedzieć czy dobrze je rozwiązałem??:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{sin \frac{1}{n ^{2} } }{ \sqrt{ \frac{1}{n+1} } }}\)

Jako ciąg \(\displaystyle{ b _{n}}\) dobrałem

\(\displaystyle{ b _{n} = \frac{ \frac{1}{n ^{2} } \sqrt{n+1} }{2}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{sin \frac{1}{n ^{2} } }{ \sqrt{ \frac{1}{n+1} } } \cdot \frac{2}{ \frac{1}{n ^{2} } \sqrt{n+1} }= \lim_{n \to \infty } \frac{2sin \frac{1}{n ^{2} } }{ \frac{1}{n ^{2} } \sqrt{ \frac{n+1}{n+1} } }= 2\lim_{ n\to \infty } \frac{sin \frac{1}{n ^{2} } }{ \frac{1}{n^2} }=2}\)

Pozdrawiam.

[BettyBoo]

Obliczenia masz dobrze, ale...

Po pierwsze, co po Ci ta 2? Po drugie - lepiej dobrać inny ciąg (z powodu po trzecie - jaka jest odpowiedź? )

Pozdrawiam.

[SZEKEL]

Ta 2 to chyba wynik paniki ;P Odpowiedź: szereg jest rozbieżny.

[BettyBoo]

No to masz źle, bo ten szereg jest akurat zbieżny, co lepiej widać jak się weźmie \(\displaystyle{ b _{n} = \frac{1}{n ^\frac{3}{2}}}\).

Pozdrawiam.

[krecikzmc]

jutro mam też kolo z takich rzeczy i czy jest jakis uniwersalny sposób na dobieranie ciągu bn ?

[BettyBoo]

Generalnie szereg, który dobieramy dla porównania powinien być taki, żebyśmy jego zbieżność - a więc powinien to być szereg Dirichleta, czyli szereg postaci \(\displaystyle{ \sum \frac{1}{n^\alpha}}\)

(jako, że to kryterium stosuje się głównie wtedy, gdy już się nie ma innego wyjścia a innego wyjścia się nie ma z reguły wtedy, gdy zawodzi kryterium d'Alemberta/Cauchy'ego (czy jakie tam jeszcze inne znasz) - a te dwa zawodzą dla przypadku, gdy zadany szereg zachowuje się "porównywalnie" z którymś z szeregów Dirichleta).

Pozdrawiam.