Między dwiema kolejnymi liczbami całkowitymi

Marysieek · Post autor: **Marysieek** » 13 sty 2010, o 07:45

Między dwiema kolejnymi liczbami całkowitymi znajduje się liczba niewymierna. Wydaje się to dla mnie oczywiste, ale jak to udowodnić?

Inkwizytor · Post autor: **Inkwizytor** » 13 sty 2010, o 09:25

Nie wiem jak bardzo zaawansowane musi byc uzasadnienie. Czy można się posługiwać liczbami wymiernymi, czy ich istnienie trzeba dopiero uzasadnić?

Najprościej można podać tak:

skoro \(\displaystyle{ 0 < \sqrt{2} -1 < 1}\) to dodając trójstronnie dowolną liczbę całkowitą (k) otrzymamy:

\(\displaystyle{ k < k + \sqrt{2} -1 < k+1}\) czyli zawsze "wygenerujemy" taką liczbę niewymierną

Marysieek · Post autor: **Marysieek** » 13 sty 2010, o 10:53

Sposób udowodnienia jest dowolny, może być nawet zaawansowany. Ale dziękuję bardzo za pomoc.

Marcinek665 · Post autor: **Marcinek665** » 13 sty 2010, o 16:00

Może po prostu wystarczy napisać, że zbiór liczb niewymiernych jest gęsty, a liczb całkowitych nie?

Colector · Post autor: **Colector** » 13 sty 2010, o 18:40

Możesz też użyć Indukcji Matematycznej.