Niech \(\displaystyle{ f: R^2 \rightarrow R^3}\) będzie przekształceniem liniowym, którego macierz w bazach standardowych ma postać:
F=\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0\\2&1\\1&1\end{bmatrix}}\)
Znajdź takie bazy: A w \(\displaystyle{ R^2}\) i B w \(\displaystyle{ R^3}\), że macierz przekształcenia f w tych bazach ma postać
F'=\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 9&-3\\3&-1\\1&0\end{bmatrix}}\)
Czy skoro \(\displaystyle{ F=I^{-1} * f * I}\) to \(\displaystyle{ F=f}\) ?
\(\displaystyle{ F' = A^{-1} * f * B}\)
\(\displaystyle{ F' = A^{-1} * F * B}\)
Jak coś takiego rozwiązac , bo tu mam 2 niewiadome macierze
Macierz przekształcenia
-
krasnal5555
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 25 maja 2009, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
-
BettyBoo
- Użytkownik
- Posty: 5354
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Macierz przekształcenia
Masz znaleźć przykładowe bazy, a nie wszystkie (których jest nieskończenie wiele).
Można to rozwiązać np tak: z macierzy przekształcenia w bazach kanonicznych wynika, że obraz dowolnego wektora ma taką własność, że suma pierwszej i trzeciej współrzędnej daje drugą (bo suma 1 i 3 wiersza macierzy przekształcenia daje wiersz 2). Wobec tego obrazy wektorów szukanej bazy \(\displaystyle{ A=(x,y)}\) można zapisać tak:
\(\displaystyle{ f(x)=f(x_1,x_2)=[x_1,2x_1+x_2,x_1+x_2]=[t,t+u,u],\\ \\ f(y)=f(y_1,y_2)=[y_1,2y_1+y_2,y_1+y_2]=[s,s+v,v]}\)
Z kolei z macierzy przekształcenia w nowych bazach wynika, że dla wektorów bazy \(\displaystyle{ B=(a,b,c)}\) mamy
\(\displaystyle{ f(x)=9a+3b+c,\ f(y)=-3a-b\ \Rightarrow \ f(x)=-3f(y)+c\ \Rightarrow\\ \\ \ f(x)+3f(y)=[t+3s,t+u+3s+3v,u+3v]=c}\)
No to teraz dobieramy sobie (prawie jakkolwiek) liczby t,s,u,v (ale tak, żeby nie wygenerować z tego proporcjonalnych wektorów lub wektorów zerowych, bo wtedy Ci nie wyjdzie liniowa niezależność wektorów x i y). No to weźmy na przykład \(\displaystyle{ t=s=u=1, v=0}\). Wtedy mamy
\(\displaystyle{ f(x)=[x_1,2x_1+x_2,x_1+x_2]=[t,t+u,u]=[1,2,1]\ \Rightarrow \ x_1=1,\ x_2=0\ \Rightarrow x=[1,0]}\)
\(\displaystyle{ f(y)=[y_1,2y_1+y_2,y_1+y_2]=[s,s+v,v]=[1,1,0]\ \Rightarrow \ y_1=1,\ y_2=-1\ \Rightarrow \ y=[1,-1]}\)
Sprawdzamy jeszcze, że rzeczywiście wektory x i y tak dobrane stanowią bazę (widać, że są liniowo niezależne, więc stanowią).
No to liczymy dalej. Z postaci x i y mamy postać wektora c:
\(\displaystyle{ c=[4,5,1]}\)
Do szczęścia brakuje tylko wektorów a i b. No to bierzemy równanie, w którym występują:
\(\displaystyle{ f(y)=-3a-b\ \Rightarrow \ [1,1,0]=-3a-b\ \Rightarrow \ b=[-1,-1,0]-3a}\)
Teraz dobieramy dowolny wektor a, który jest liniowo niezależny z c (jeśli nie trafimy, to trzeba dobrać inny). Np taki: \(\displaystyle{ a=[1,0,0]}\). Wtedy \(\displaystyle{ b=[-4,-1,0].}\) Sprawdzamy jeszcze, czy wektory a,b,c są liniowo niezależne - ponieważ u nas są, to znaczy, że tworzą bazę.
Odpowiedź: przykładowymi bazami, w których macierz przekształcenia f ma podaną postać są
\(\displaystyle{ A=([1,0],[1,-1]),\ b=([1,0,0],[-4,-1,0],[4,5,1])}\)
Pozdrawiam.
Można to rozwiązać np tak: z macierzy przekształcenia w bazach kanonicznych wynika, że obraz dowolnego wektora ma taką własność, że suma pierwszej i trzeciej współrzędnej daje drugą (bo suma 1 i 3 wiersza macierzy przekształcenia daje wiersz 2). Wobec tego obrazy wektorów szukanej bazy \(\displaystyle{ A=(x,y)}\) można zapisać tak:
\(\displaystyle{ f(x)=f(x_1,x_2)=[x_1,2x_1+x_2,x_1+x_2]=[t,t+u,u],\\ \\ f(y)=f(y_1,y_2)=[y_1,2y_1+y_2,y_1+y_2]=[s,s+v,v]}\)
Z kolei z macierzy przekształcenia w nowych bazach wynika, że dla wektorów bazy \(\displaystyle{ B=(a,b,c)}\) mamy
\(\displaystyle{ f(x)=9a+3b+c,\ f(y)=-3a-b\ \Rightarrow \ f(x)=-3f(y)+c\ \Rightarrow\\ \\ \ f(x)+3f(y)=[t+3s,t+u+3s+3v,u+3v]=c}\)
No to teraz dobieramy sobie (prawie jakkolwiek) liczby t,s,u,v (ale tak, żeby nie wygenerować z tego proporcjonalnych wektorów lub wektorów zerowych, bo wtedy Ci nie wyjdzie liniowa niezależność wektorów x i y). No to weźmy na przykład \(\displaystyle{ t=s=u=1, v=0}\). Wtedy mamy
\(\displaystyle{ f(x)=[x_1,2x_1+x_2,x_1+x_2]=[t,t+u,u]=[1,2,1]\ \Rightarrow \ x_1=1,\ x_2=0\ \Rightarrow x=[1,0]}\)
\(\displaystyle{ f(y)=[y_1,2y_1+y_2,y_1+y_2]=[s,s+v,v]=[1,1,0]\ \Rightarrow \ y_1=1,\ y_2=-1\ \Rightarrow \ y=[1,-1]}\)
Sprawdzamy jeszcze, że rzeczywiście wektory x i y tak dobrane stanowią bazę (widać, że są liniowo niezależne, więc stanowią).
No to liczymy dalej. Z postaci x i y mamy postać wektora c:
\(\displaystyle{ c=[4,5,1]}\)
Do szczęścia brakuje tylko wektorów a i b. No to bierzemy równanie, w którym występują:
\(\displaystyle{ f(y)=-3a-b\ \Rightarrow \ [1,1,0]=-3a-b\ \Rightarrow \ b=[-1,-1,0]-3a}\)
Teraz dobieramy dowolny wektor a, który jest liniowo niezależny z c (jeśli nie trafimy, to trzeba dobrać inny). Np taki: \(\displaystyle{ a=[1,0,0]}\). Wtedy \(\displaystyle{ b=[-4,-1,0].}\) Sprawdzamy jeszcze, czy wektory a,b,c są liniowo niezależne - ponieważ u nas są, to znaczy, że tworzą bazę.
Odpowiedź: przykładowymi bazami, w których macierz przekształcenia f ma podaną postać są
\(\displaystyle{ A=([1,0],[1,-1]),\ b=([1,0,0],[-4,-1,0],[4,5,1])}\)
Pozdrawiam.