dwie całki nieoznaczone

[qba]

witam,

mam problem z dwiema całeczkami, dość podobnymi do siebie jednak nie wiem jak je ruszyć (dalej już pewnie pójdzie )

\(\displaystyle{ \int cos^2y \ dy}\)
oraz
\(\displaystyle{ \int cos^2 \ 2x dx}\)

prosiłbym o wskazówkę typu co i dlaczego na start

[mm4]

pierwsza
\(\displaystyle{ \int cosx*cosx}\) i przez części

w drugiej skorzystaj z tego
\(\displaystyle{ cos2x = 2 cos^{2} x -1}\)

[qba]

czy w tej pierwszej na pewno przez części?

troszkę się zapętlam bo tam wciąż będzie przechodzenie z sin na cos i odwrotnie ;/

[M Ciesielski]

kiedy otrzymasz po prawej stronie wyjściową całkę (powinna być ze znakiem ujemnym) przerzuć ją na lewo i podziel stronami przez stałą, która jest przed tą całką.

[qba]

z tego co udało mis się ustalić w pierwszym powinno mi wyjść
\(\displaystyle{ \int cos^2(y) dy = \frac{y}{2}+\frac{1}{4} sin(2 y)}\)
jednak za nic nie mogę do tego dojść całkując przez części,
czy mógłbym prosić o rozwiązanie Twoim sposobem?

[Mariusz M]

Całkując przez części musisz skorzystać z jedynki trygonometrycznej

\(\displaystyle{ \int{\cos^{2}{y} \mbox{d}y}}\)

\(\displaystyle{ =\int{\cos{y} \cdot \cos{y} \mbox{d}y}=\sin{y}\cos{y}+ \int{\sin^{2}{y} \mbox{d}y}}\)

\(\displaystyle{ =2\int{\cos{y} \cdot \cos{y} \mbox{d}y}=\sin{y}\cos{y}+ \int{\sin^{2}{y} \mbox{d}y}+\int{\cos^{2}{y} \mbox{d}y}}\)

\(\displaystyle{ =2\int{\cos{y} \cdot \cos{y} \mbox{d}y}=\sin{y}\cos{y}+ \int{ \mbox{d}y}}\)

\(\displaystyle{ =2\int{\cos{y} \cdot \cos{y} \mbox{d}y}=\sin{y}\cos{y}+ y}\)

\(\displaystyle{ \int{\cos^{2}{y} \mbox{d}y}= \frac{1}{2} \left(\sin{y}\cos{y}+ y\right)+C}\)