Odległośc punktu od punktu w zbiorze

[artinho_]

Na płaszczyźnie dany jest zbiór A={(x,y): x \(\displaystyle{ \in}\) R \(\displaystyle{ \wedge}\) y \(\displaystyle{ \in}\) R \(\displaystyle{ \wedge}\) \(\displaystyle{ y ^{2}}\) - \(\displaystyle{ x ^{2}}\) \(\displaystyle{ \ge}\) 0}. Znajdź punkt P należący do zbioru A, który leży najbliżej punktu K(-2,1).

[mati1024]

jak dla mnie dany zbiór to cała płaszczyzna, gdyż niezależnie od tego, w której ćwiartce punkt leży, spełnia daną nierówność...

A więc najbliżej punku K będzie punkt o takich samych współrzędnych:)

[artinho_]

Powinno wyjśc P(\(\displaystyle{ - \frac{3}{2} , \frac{3}{2}}\)).

[mati1024]

sory... nie napisałeś w latexie i źle przeczytałem nierówność

\(\displaystyle{ x ^{2}-y ^{2} \ge 0 \\
(x+y)(x-y) \ge 0 \\
\begin{cases} x+y \ge 0 \\ x-y \ge 0 \end{cases} \vee \begin{cases} x+y \le 0 \\ x-y \le 0 \end{cases} \\
\begin{cases} x \ge -y \\ x \ge y \end{cases} \vee \begin{cases} x \le -y \\ x \le y \end{cases}}\)

W układzie współrzędnych są to części płaszczyzny ograniczone prostymi \(\displaystyle{ y=x}\) i \(\displaystyle{ y=-x}\)

Widzimy że najbliżej danego punktu będize punkt na prostej \(\displaystyle{ y=-x}\). Odległość ma być możliwie jak najmneijsza, będzie więc on więc na prostej prostopadłej do \(\displaystyle{ y=-x}\) i przechodzącej przez dany punkt.

Prosta prostopadła do \(\displaystyle{ y=-x}\)
\(\displaystyle{ y=x+b \\
1=-2+b \\
b=3 \\ \\
y=x+3}\)

Punkt P otrzymamy z rozwiązania układu równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=x+3 \\ y=-x \end{cases} \\
\begin{cases} x=-1,5 \\ y=15 \end{cases}}\)

A więc współrzędne punktu:
\(\displaystyle{ P=(- \frac{3}{2}; \frac{3}{2})}\)