granica prawostronna w zerze

[johanneskate]

Granica wygląda tak:)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^{+}} x \cdot 2^{ \frac{1}{x} }}\)

lewostronna wyszła mi 0:)

[lukasz1804]

Należy zastosować regułę de L'Hospitala. Mamy wówczas \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^+}x\cdot 2^{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to 0^+}\frac{2^{\frac{1}{x}}}{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to 0^+}\frac{-\frac{1}{x^2}\cdot 2^{\frac{1}{x}}\cdot\ln 2}{-\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\to 0^+}(2^{\frac{1}{x}}\cdot\ln 2)=+\infty}\).

[johanneskate]

a wykres tej funkcji osi nie przecina?? żadnej?

[lukasz1804]

Nie. Ta funkcja nie ma miejsc zerowych, a dodatkowo nie jest ona określona w zerze.

[johanneskate]

mógłbyś pomóc policzyć asymptoty?? bo granica w plus minus nieskończoności wynosi 0:) i nie wiem co z tego wynika:)

[lukasz1804]

Nie zgadza się. Mamy \(\displaystyle{ \lim_{x\to -\infty}x\cdot 2^{\frac{1}{x}}=-\infty, \lim_{x\to +\infty}x\cdot 2^{\frac{1}{x}}=+\infty}\), gdyż wyrażenie \(\displaystyle{ 2^{\frac{1}{x}}}\) dąży w obu przypadkach do \(\displaystyle{ 2^0=1}\).

[johanneskate]

masz rację. czyli jak z tymi asymptotami:):)?