sposoby na liczenie granic

[panisiara]

Jak zabrać się za obliczenie następujących granic?
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0^{-} } \frac{1}{ \sqrt{x^{2}-x} }}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } \frac{x^{2}+sinx}{x^{2}-cosx}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty }( \frac{3x+5}{3x+7} )^{x+1}}\)

[Dasio11]

1. Wyłącz \(\displaystyle{ x}\) przed pierwiastek;
2. Podziel licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ x^2}\);
3. Wyłącz \(\displaystyle{ 3x}\) z licznika.

[panisiara]

1. próbowałam. \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^{-} } = \frac{1}{x \sqrt{1 - \frac{1}{x} } }}\), co wiele nie daje, bo wyrażenie dąży do zera. Gdyby do nieskończoności, to owszem...
2. Ok, wychodzi 1.
3. w sumie to po wyłączeniu 3x z licznika i mianownika wychodzi 1.
Po wyłączeniu z samego licznika został mi majdan z zerami i nieskończonościami.

[czlowiek_widmo]

W pierwszym nie ma przeciez postaci nieoznaczonej? jest 1/0 czyli plus minus nieskonczonosc ale masz podane ze x dazy do 0 z lewej. Czyli podstaw po prostu za x 'cos bardzo malego ujemnego'. Wtedy -x jest dodatnie, x kwadrat oczywiscie tez. Pierwiastek nic nie zmienia. Wychodzi mi plus nieskonczonosc.

[panisiara]

Nic nie zmienia pierwiastek? Może zmienić choćby znak- przecież podstawiam do mianownika "coś małego ujemnego". A pod pierwiastkiem mam \(\displaystyle{ [1 - (- \infty )]}\)

[czlowiek_widmo]

obawiam sie ze nie rozumiem. skad takie cos pod pierwiastkiem sie wzielo? I jak pierwiastek moze zmienic znak?

[Dasio11]

1. No tak, racja, do zera No to można podstawić \(\displaystyle{ t=-\frac{1}{x}}\) i będzie dążyło do \(\displaystyle{ + \infty}\)
3. Nie wychodzi jeden:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \left( \frac{3x+5}{3x+7} \right)^{x+1}= \lim_{x \to \infty} \left(1- \frac{2}{3x+7} \right)^{\frac{3x+7}{2} \cdot \frac{2(x+1)}{3x+7}}=e^{- \frac{2}{3}}}\)

[panisiara]

1. No tak, racja, do zera No to można podstawić \(\displaystyle{ t=-\frac{1}{x}}\) i będzie dążyło do \(\displaystyle{ + \infty}\)

a mógłbyś rozpisać jeszcze to podstawienie? Bo mi nadal w mianowniku wychodzi iloczyn zera i nieskończoności.

[Wilkołak]

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0^{-} } \frac{1}{ \sqrt{x^{2}-x} } = \lim_{ t \to +\infty } \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{t^2}+ \frac{1}{t}}} = \lim_{ t \to +\infty } \frac{1}{\sqrt{\frac{t+1}{t^2}}} = \lim_{ t \to +\infty } \sqrt{\frac{t^2}{t+1}}}\)