Granica funkcji z sumą (sprawdzenie)

[czlowiek_widmo]

Znalezc granice:
\(\displaystyle{ \lim_{ x \to 1 ^{\pm} } \frac{ ( \sum_{k=1}^{n} x^k )-n}{x-1}}\).


Zrobilem takie przejscia:

\(\displaystyle{ =\lim_{ x \to 1 ^{\pm} } \frac{ \sum_{k=1}^{n} (x^k -1 )}{x-1}}\)

\(\displaystyle{ =\lim_{ x \to 1 ^{\pm} } \sum_{k=1}^{n} \frac{ x^k -1 }{x-1}}\)

\(\displaystyle{ =\lim_{ x \to 1 ^{\pm} } 1+ (1+x)+(1+x+x^2)+...+(1+x+...+x^{n-1})}\)

\(\displaystyle{ = \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n^2+n}{2}}\)

I wychodziloby na to ze nie potrzeba rozpatrywac granic lewo- i prawostronnych? Czy to jest dobrze policzone?