zbadać promień zbieżności

[lpek58]

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(n^2+1)27^n}{2^{3n}n^3}x^{3n}}\)
Wiem że mam zastosować \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|}\)
Ale jak opuścić \(\displaystyle{ x^{3n}}\) z tego szeregu?

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ y=x ^{3}}\) i wcale nie musisz brac czynnika \(\displaystyle{ y ^{n}}\) pod uwagę(->wzorki)

[lpek58]

czyli będe miał
\(\displaystyle{ a_n= \frac{( \frac{n^2}{9} +1)27^ \frac{n}{3} }{2^{n} (\frac{n}{3})^3}}\)
?

[miodzio1988]

No nie....
\(\displaystyle{ a_{n} =\frac{(n^2+1)27^n}{2^{3n}n^3}}\)
i liczysz
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{a_{n}}=....}\)

[lpek58]

Dlaczego więc szereg:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{x^{n-1}}{n}}\)
\(\displaystyle{ a_n= \frac{1}{n+1}}\)
?

[miodzio1988]

Bo indeks sumowania byl odpowiednio zmieniony.....pamietaj ze masz miec \(\displaystyle{ x ^{n}}\) jesli chcesz z tych wzrokow korzystac. A jak nie chcesz to korzystaj ze znanych Ci kr. zbieznosci

[lpek58]

no właśnie w topicu tym o to mi chodziło żeby zastosować zapis \(\displaystyle{ x^n}\) w moim szeregu.
Jak powinien on wyglądać ?

Czyli dla kryterium \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|}\) musi być \(\displaystyle{ x^n}\)
a dla \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{a_{n}}}\) może przy x stać dowolna potęga?

[miodzio1988]

Po podstawieniu:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \left| \frac{a_{n+1}y ^{n+1} }{a_n y ^{n } } \right|}\)
I wtedy pamietaj, ze to musi byc mniejsze od 1



albo skorzystaj z gotowych wzorkow juz.

[lpek58]

możesz jaśniej? o jakich "wzorkach" mówisz?
pragnę zapisać swój szereg za pomocą \(\displaystyle{ x^n}\) czy mógłbyś w końcu pokazać jak to zrobić?

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(n^2+1)27^n}{2^{3n}n^3}x^{3n}=(*)=\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(n^2+1)27^n}{2^{3n}n^3}y^{n}}\)
(*)podstawienie o ktorym Ci mowilem. I teraz juz powinienes wiedziec co robic. Wszystko masz podane w linku(jak wyznaczac promien zbieznosci itd)W czym jest zatem probem?

[lpek58]

Ok. Więc teraz policzę sobie to z tego : \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|}\)
gdzie \(\displaystyle{ a_n=\frac{(n^2+1)27^n}{2^{3n}n^3}}\)

jak mi wyjdzie załóżmy granica jakaś tam właściwa, to co dalej z tym podstawieniem mam zrobić?

[miodzio1988]

Wyznaczasz promien a pozniej wracasz do podstawienia.