Wartości ekstremalne

[czarny1989]

Witam serdecznie
Mam do policzenia takie zadanie :

\(\displaystyle{ Z = \frac{1}{3}x^{3} + \frac{1}{2}y^{2} + xy - 2x - 2y}\)

No, więc liczymy!

1. Dziedzina

\(\displaystyle{ x \in R \cap y \in R}\)

2. Warunek istnienia ekstremum

\(\displaystyle{ \begin{cases} Zx=0 \\ Zy=0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} Zx= x^{2}+y-2 \\ Zy= y+x-2 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}+y-2 = 0 \\ x+y-2 = 0 \end{cases}}\)

I po wyliczeniu wychodzi mi takie coś :

\(\displaystyle{ x^{2} - x = 0}\)

Co z tym mam dalej zrobić ?

[Bieniol]

Patrząc na pochodne cząstkowe dochodzę do wniosku, że w treści zamiast \(\displaystyle{ x^2}\) powinno być \(\displaystyle{ y^2}\)? Jeżeli tak, to...

Na końcu powinno być:

\(\displaystyle{ x^2-x=0}\)

\(\displaystyle{ x(x-1)=0}\)

\(\displaystyle{ x=0 \vee x=1}\)

Czyli mamy dwa punkty krytyczne:

\(\displaystyle{ \left( 0;2\right)}\) , \(\displaystyle{ \left( 1;1\right)}\)

Tworzysz teraz macierz Hessego dla tych punktów i liczysz wyznaczniki minorów

[czarny1989]

W treści faktycznie był błąd - już wszystko poprawiłem
Dzięki wielkie !

[Bieniol]

Mylisz się, bo nie masz tam \(\displaystyle{ x-y+2=0}\), tylko \(\displaystyle{ x+y-2=0}\)

EDIT: Post do usunięcia.

[czarny1989]

Hmmm ... natknąłem się na następny problem. Pewnie jest on banalny jak ten wyżej, ale cóż zrobić - orłem z matematyki nigdy nie byłem.

Zadanie jest identycznej treści jak te wyżej :

\(\displaystyle{ Z = \frac{1}{3}x^{3} + \frac{1}{3}y^{3} - xy}\)

Po wszelkim wyliczeniu dochodzę do momentu :

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2} - y = 0 \\ -x + y^{2} = 0 \end{cases}}\)

Jak to wykonać? Ma ktoś jakiś pomysł?

[Bieniol]

Dokładnie tak samo. Wyliczasz sobie \(\displaystyle{ x}\) z drugiego równania:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2} - y = 0 \\ x = y^{2} \end{cases}}\)

I podstawiasz do pierwszego:

\(\displaystyle{ \begin{cases} y^{4} - y = 0 \\ x = y^{2} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} y(y^{3} - 1) = 0 \\ x = y^{2} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} y= 0 \\ x = 0 \end{cases}}\)

lub:

\(\displaystyle{ \begin{cases} y= 1 \\ x = 1 \end{cases}}\)

I masz dwa punkty krytyczne. Dalej analogicznie

[czarny1989]

Dzięki wielkie ponownie
Temacik można zamknąć.