Całka niewłaściwa

[igotfeeling]

Prosiłbym o sprawdzenie bo wydaje mi się że wynik w Krysickim jest zły
Mamy całkę:

\(\displaystyle{ \int_{-2}^{0} \frac{1}{(2-x)^2} \cdot \sqrt[3]{\frac{2-x}{2+x} } dx}\)

\(\displaystyle{ \lim_{c \to -2^{+}} \int_{c}^{0} \frac{1}{(2-x)^2} \cdot \sqrt[3]{\frac{2-x}{2+x} } dx}\)

Całka nieoznaczona:
\(\displaystyle{ \int \frac{1}{(2-x)^2} \cdot \sqrt[3]{\frac{2-x}{2+x} } dx}\)

Podstawienie \(\displaystyle{ t^3 = \frac{2+x}{2-x}}\)

\(\displaystyle{ 3t^2 dt = \frac{2-x -(-(2+x))}{(2-x)^2}dx=\frac{4dx}{(2-x)^2} \Rightarrow \frac{dx}{(2-x)^2}=\frac{3}{4}t^2 dt}\)

\(\displaystyle{ t^{-3} = \frac{2-x}{2+x}}\)
\(\displaystyle{ \frac{3}{4} \int t^2 \sqrt[3]{t^{-3}} dt = \frac{3}{4} \int tdt = \frac{3}{8}\cdot t^2 +C=
\frac{3}{8} \sqrt[3]{(\frac{2+x}{2-x})^2 }}\)

\(\displaystyle{ \lim_{c \to -2^{+}} \frac{3}{8} ( \sqrt[3]{(\frac{2+x}{2-x})^2 } )|^{0} _{c} =\frac{3}{8}}\)

Czy ten wynik jest prawidłowy?
Czy podstawienie jest ok?

W krysickim wyrażenie pod pierwiastkiem nie jest do kwadratu oraz wynik to \(\displaystyle{ \frac{3}{8} \sqrt[3]{2}}\)

Przy okazji: Jak oszacować logartym z dołu i z góry np. \(\displaystyle{ ln(x+1)}\) ??

Pozdrawiam i dziękuje za pomoc

[makan]

Sprawdzić wynik możesz tu . Wygląda na to, że dobrze policzyłeś. Kod do wklejenia: Integrate[1/(2-x)^2* ((2-x)/(2+x))^(1/3),x,-2,0]

[igotfeeling]

No to wychodzi że policzyłem dobrze.

Sprawdziłem jeszcze jedną całkę niewłaściwą którą policzyłem znowu inaczej niż Krysicki ale niestety punkt dla niego.

zapytuje ponownie:
Jak oszacować z góry i z dołu logartym np. \(\displaystyle{ ln(x+1)}\) ?