suma szeregu geometrycznego

[kermitex]

dla jakich wartosci parametru a rownanie \(\displaystyle{ \frac{cosx}{2}+\frac{cos^{2}x}{4}+\frac{cos^{3}x}{8}+...=a^{2}-2}\), ktorego lewa strona jest suma szeregu geometrycznego, ma rozwiazanie? Jak sie za to zabrac i dalej rozwiazac? Prosze, pomozcie! Z gory dziekuje! Rozwiazanie powinno wyjsc: a nalzey do przedzialow \(\displaystyle{ lub }\).

[Tristan]

Z lewej strony masz sumę nieskończonego szeregu geometrycznego, gdzie \(\displaystyle{ a_{1}=\frac{ \cos x}{2}}\), \(\displaystyle{ q=\frac{ \cos x}{2}}\), przy założeniu, że \(\displaystyle{ q (-1;1)}\). Czyli \(\displaystyle{ S=\frac{ \frac{ \cos x}{2} }{ 1 - \frac{ \cos x }{2}}= \frac{ \cos x }{2 - \cos x}}\). Mamy więc równanie:
\(\displaystyle{ \frac{ \cos x }{2 - \cos x}=a^2-2}\)
\(\displaystyle{ \cos x=(a^2-2)(2- \cos x)}\)
\(\displaystyle{ \cos x=2a^2 - a^2 \cos x -4 + 2 \cos x}\)
\(\displaystyle{ a^2 \cos x - \cos x = 2a^2 -4}\)
\(\displaystyle{ (a^2-1) \cos x=2a^2 -4}\)
\(\displaystyle{ \cos x = \frac{ 2a^2 -4}{ a^2 -1}}\)
Czyli, z def. f. tryg., masz do rozwiązania podwójną nierówność, z którą sobie poradzisz już:
\(\displaystyle{ -1 q \frac{ 2a^2 -4}{ a^2 -1} q 1}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ a^2 -1 0}\).