Zbieżność całki

[igotfeeling]

Kolejne zadanko w ramach nauki do egzaminu
Na wstępie dwa pytania:

1. Jak oszacować logarytm?
2. Czy 'zbieżność z definicji' to np. kryterium porównawcze?

Zbadać z definicji zbieżność całki niewłaściwej \(\displaystyle{ \int_{1}^{+\infty}\frac{\ln(x+1)}{(x+2)^3}dx}\)
Z kryterium porównawczego
\(\displaystyle{ 0 \le f(x) \le g(x)}\)
\(\displaystyle{ \int_{a}^{+\infty} g(x)dx \text{ zbiezna } \Rightarrow \int_{a}^{+\infty}f(x)dx \text{ zbiezna }}\)

\(\displaystyle{ \frac{\ln(x+1)}{(x+2)^3} \le \frac{\ln(x+x)}{x^3} \le \frac{\ln2x}{x^3} \le \frac{2x}{x^3}=\frac{2}{x^2}}\)

\(\displaystyle{ 2 \int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{x^2}}\) zbieżna bo \(\displaystyle{ \alpha > 1}\) zatem
\(\displaystyle{ \int_{1}^{+\infty}\frac{\ln(x+1)}{(x+2)^3}dx}\) zbiezna

[makan]

Ad. 2. Nie. Kryterium porównawcze nie jest definicją całki niewłaściwej, to twierdzenie pozwalające badać zbieżność całek niewłaściwych. A definicje masz pewnie w notatkach z wykładu lub znajdziesz na wikipedii.