Objętość bryły obrotowej

[igotfeeling]

Kolejne zadanko z egzaminu dla ćwiczeń:

Oblicz objętość bryły obrotowej powstałej przez obrót wokół osi OX wykresu funkcji

\(\displaystyle{ f(x)=\sqrt{arcsinx} \text{ , } x\in <\frac{1}{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}>}\)

Zgodnie ze wzorem:

\(\displaystyle{ |V|=\pi \int_{a}^{b} f(x)^2 dx \text{ dla } x\in <a;b>}\)

Mamy:
\(\displaystyle{ \pi \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\sqrt{arcsinx}^2 dx =\pi \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}|{arcsinx}| dx}\)
Z wykresu widać że w przedziale \(\displaystyle{ x\in <\frac{1}{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}>}\) funkcja \(\displaystyle{ f(x)=arcsinx}\) przyjmuje wartości dodatnie, zatem mamy:
\(\displaystyle{ \pi \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}{arcsinx} dx=...}\)
całkując przez części mamy
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} u=x&du=dx\\dv=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx&v=arcsinx\end{vmatrix}}\)
\(\displaystyle{ ...=\pi[xarcsinx|^{\frac{1}{\sqrt{2}}}_{\frac{1}{2}} - \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\frac{xdx}{\sqrt{1-x^2}}]=...}\)
Obliczmy całkę nieoznaczoną \(\displaystyle{ \int \frac{xdx}{\sqrt{1-x^2}}}\) przez podstawienie \(\displaystyle{ 1-x^2=t}\) mamy
\(\displaystyle{ \frac{-1}{2} \int\frac{dt}{\sqrt{t}}=-\sqrt{t} + C =-\sqrt{1-x^2} + C}\)
Zatem ostatecznie mamy:
\(\displaystyle{ ...=\pi[xarcsinx|^{\frac{1}{\sqrt{2}}}_{\frac{1}{2}} - (-\sqrt{1-x^2}|^{\frac{1}{\sqrt{2}}}_{\frac{1}{2}})] = \frac{\pi}{2}(\sqrt{2}-\sqrt{3}) + \frac{\pi}{4}(\frac{\sqrt{2}\pi}{2}-\frac{\pi}{3})}\)

Trochę wynik nie ładnie zapisałem ale już trudno

Proszę się czepiać zapisów

@down
hehe faktycznie pi zapomniałem ;D
wzór z czapy brałem rozumiesz

[Dudas]

Brakuje Ci \(\displaystyle{ \pi}\) na samym początku przed całką